"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сложная функция имеет вид y = f(g(x)): сначала вычисляют внутреннее выражение g(x), затем применяют к результату внешнюю функцию f. Такие формулы удобно исследовать через преобразования графика — сдвиги, растяжения, сжатия и отражения. Главное — правильно определить, как меняются абсциссы и ординаты точек, а затем проверить область определения полученной функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложная функция — функция вида y = f(g(x)), где g(x) называют внутренней функцией, а f — внешней. Сначала вычисляют g(x), а затем результат используют как аргумент функции f. Такое представление помогает разбить громоздкую формулу на понятные последовательные действия.
Преобразование графика — изменение положения, формы или масштаба графика исходной функции при переходе к новой формуле. Оно позволяет строить новый график по уже известному, не вычисляя множество отдельных значений. Для этого отслеживают, как формула меняет координаты точек.
Сдвиг графика — перенос всех его точек на одинаковое расстояние по горизонтали или вертикали. При этом форма графика не меняется, изменяется только его положение на координатной плоскости. Сдвиг удобен для функций с выражениями x − a, x + a или добавленным числом.
Растяжение и сжатие графика — изменение координат точек в определённое число раз относительно оси или прямой. Вертикальный множитель меняет ординаты, а множитель при x — абсциссы. Если множитель отрицателен, вместе с масштабированием появляется отражение.
При построении графика сложной функции сначала выделяют внутреннюю и внешнюю части формулы. Внутренняя часть изменяет аргумент исходной функции, а внешняя — её значение. Такой порядок важен: одинаковые преобразования, выполненные в разной последовательности, могут дать разные промежуточные графики.
В формуле y = f(x) + b к каждой ординате исходного графика прибавляется одно и то же число b. Абсциссы не меняются, поэтому точки перемещаются строго вертикально. При b > 0 график поднимается вверх, а при b < 0 опускается вниз.
В формуле y = f(x − a) прежнее значение функции получается тогда, когда x − a равно старой абсциссе. Значит, новая абсцисса равна старой плюс a: все точки уходят вправо при a > 0. При a < 0 число a прибавляет отрицательное смещение, поэтому график переносится влево.
Множитель y = kf(x) действует на ординаты: точка (x, y) переходит в точку (x, ky). Если |k| больше 1, расстояния от оси Ox увеличиваются, а при 0 < |k| < 1 уменьшаются. Отрицательный k меняет знак каждой ординаты, поэтому дополнительно отражает график относительно оси Ox.
В формуле y = f(kx) прежнее значение функции достигается при kx = x₀, то есть при новой абсциссе x = x₀/k. Поэтому горизонтальный масштаб меняется в 1/|k| раза: при |k| > 1 график сжимается, а при 0 < |k| < 1 растягивается. Отрицательный k меняет направление оси абсцисс и даёт отражение относительно оси Oy.
В таблице указано, какую координату точки изменяет каждый элемент формулы. Для контроля можно взять характерную точку исходного графика и применить к её координатам соответствующее правило. Если присутствует несколько множителей и сдвигов, преобразования выполняют последовательно.
| Формула | Изменение графика | Как меняются координаты точек |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Сдвиг по вертикали | (x, y) → (x, y + b) |
| y = f(x − a) | Сдвиг по горизонтали | (x, y) → (x + a, y) |
| y = kf(x) | Растяжение, сжатие или отражение относительно Ox | (x, y) → (x, ky) |
| y = f(kx) | Растяжение, сжатие или отражение относительно Oy | x → x/k, y не изменяется |
В последней строке при отрицательном k учитывают не только модуль масштаба, но и отражение относительно Oy. Для выражений с корнем, дробью или логарифмом таблица описывает положение графика, но не заменяет проверку допустимых значений x.
Здесь корень √x остаётся без изменения, а число 2 прибавляется ко всему значению функции. Значит, меняются только ординаты точек, а форма и область определения сохраняются. Исходный график начинается в точке (0; 0).
Ответ: график y = √x + 2 получается сдвигом графика y = √x на 2 единицы вверх. Область определения: x ≥ 0.
Подкоренное выражение x − 3 показывает, что изменяется аргумент исходной функции y = √x. Чтобы получить прежнее значение корня, новая абсцисса должна быть на 3 больше старой. Поэтому график переносится вправо, а начальная точка (0; 0) переходит в (3; 0).
Ответ: график сдвинут вправо на 3 единицы, область определения — [3; +∞).
Сначала перепишем аргумент: 3x + 6 = 3(x + 2). Это показывает горизонтальный сдвиг влево на 2 и сжатие по горизонтали в 3 раза, затем множитель −2 растягивает график по вертикали в 2 раза и отражает его относительно Ox. Ограничение под корнем определяет, где график вообще существует.
Ответ: график строится указанными тремя преобразованиями, область определения — [−2; +∞).
Сдвиг y = f(x − a) иногда ошибочно считают направленным влево. Причина — знак внутри скобок воспринимают так же, как знак обычного числа. Проверка проста: при каком новом x выражение x − a равно старому аргументу; это сразу показывает направление переноса.
В формуле y = f(kx) абсциссы иногда умножают на k вместо деления на k. Так происходит из-за привычки смотреть только на множитель, не решая равенство kx = x₀. Запишите новую абсциссу x = x₀/k и отдельно учтите её знак.
При отрицательном k в формуле y = kf(x) могут заметить только изменение масштаба. Ошибка возникает, потому что модуль множителя действительно отвечает за растяжение или сжатие, но сам знак меняет направление ординат. Проверьте точку с положительной ординатой: после умножения на отрицательное число она окажется ниже оси Ox.
После преобразований иногда забывают проверить область определения. Особенно часто это случается с квадратными корнями, когда график мысленно переносят целиком без проверки подкоренного выражения. Подставьте условие в исходную формулу: под корнем должно быть число не меньше нуля, знаменатель не должен обращаться в ноль.
До изучения графиков сложных функций нужно уметь строить графики основных элементарных функций: линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических. Также необходимо находить область определения, поскольку преобразования не отменяют ограничений исходной формулы.
Преобразования графиков используются при исследовании свойств функций: помогают находить нули, промежутки знакопостоянства, наибольшие и наименьшие значения. Они также позволяют решать уравнения и неравенства графическим способом, сравнивая точки пересечения графиков.
Как понять, в какую сторону сдвигается график y = f(x − a)?
Нужно найти такое новое значение x, при котором внутренний аргумент x − a равен прежнему аргументу. Получается x = прежний x + a, поэтому при a > 0 график сдвигается вправо, а при a < 0 — влево.
Чем преобразования f(x) + b и f(x + b) отличаются друг от друга?
В выражении f(x) + b прибавляют число к значению функции, поэтому график сдвигается вертикально на b. В выражении f(x + b) изменяют аргумент: при b > 0 график сдвигается влево на b.
Почему при замене x на 2x график сжимается по горизонтали?
Чтобы получить прежнее значение функции, аргументу новой функции достаточно принять значение, вдвое меньшее прежнего. Поэтому каждая абсцисса делится на 2, и график сжимается к оси Oy.
Как построить график, если в формуле одновременно несколько преобразований?
Разложите формулу на последовательные действия: изменение аргумента, сдвиг, изменение ординат и отражение. Выполняйте их по шагам, а после каждого шага контролируйте координаты характерных точек и область определения.
Нужно ли после построения графика заново находить его область определения?
Да, область определения проверяют по окончательной формуле. Особенно это необходимо для корней, дробей, логарифмов и других выражений с ограничениями.
1.8. Графики сложных функций
