13.2. Использование неотрицательности функций

Определения и обозначения

Неотрицательная функция — это функция, значения которой на рассматриваемой области не меньше нуля. Запись f(x) ≥ 0 означает, что при каждом допустимом x значение f(x) либо положительно, либо равно нулю. Такое свойство удобно, когда нужно доказать неравенство сразу для всех значений переменной: достаточно найти представление выражения, знак которого известен.

Положительная функция принимает на рассматриваемой области только значения строго больше нуля. Запись f(x) > 0 означает, что нулевые значения исключены, а значит, функция не обращается в нуль в этой области. Это уточнение важно, например, при делении на функцию: делить можно лишь там, где она определена и не равна нулю.

Тождественное неравенство — неравенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Чтобы доказать f(x) ≥ g(x), обычно рассматривают разность f(x) − g(x): если она неотрицательна, исходное сравнение выполняется. Такой способ сводит задачу к исследованию знака одной функции и помогает применять знакомые свойства квадратов, сумм и произведений.

Как это устроено

Чтобы доказать f(x) ≥ g(x), перенесите g(x) в левую часть и исследуйте разность f(x) − g(x). Это работает потому, что сравнение двух чисел равносильно сравнению их разности с нулём: если разность положительна, левая часть больше, а если равна нулю, части равны. Перед преобразованиями определите допустимые значения переменных, иначе можно использовать выражение, которое не имеет смысла.

Квадрат любого действительного выражения неотрицателен: число и его противоположность дают один и тот же квадрат, а произведение числа на себя не бывает отрицательным. Поэтому, если разность частей удалось представить как A², её знак уже установлен. Иногда сначала раскрывают скобки, чтобы увидеть нужный квадрат, а иногда, наоборот, выделяют полный квадрат; в обоих случаях проверяют, что выражение A определено и действительно.

Если выражение является суммой слагаемых, каждое из которых неотрицательно, то и вся сумма неотрицательна: прибавление числа, не меньшего нуля, не может уменьшить результат ниже нуля. Здесь нельзя ограничиться видом записи — знак каждого слагаемого нужно обосновать отдельно. Например, квадрат неотрицателен, а дробь с таким числителем будет неотрицательной лишь при положительном знаменателе.

Знак произведения зависит от знаков его множителей. Два положительных или два отрицательных множителя дают положительное произведение, а наличие нулевого множителя делает произведение нулём; множители разных знаков дают отрицательный результат. Поэтому перед выводом о знаке произведения выясняют знак каждого множителя на всей рассматриваемой области, а не только при отдельных значениях переменных.

Равенство в доказанном неравенстве достигается тогда, когда разность его частей равна нулю. Если разность представлена квадратом, это требует равенства нулю выражения под квадратом; если она является суммой неотрицательных слагаемых, нулю должны равняться все слагаемые. Условие равенства находят отдельно и проверяют, что найденные значения допустимы.

Приёмы доказательства неравенств через неотрицательность

Пользуйтесь таблицей после того, как перенесли части неравенства в одну сторону и упростили выражение. Выберите подходящее представление и обоснуйте знак каждого его элемента. Для произведения и дроби отдельно проверяйте знаки множителей и знаменателя.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что для любого действительного x выполнено x² + 1 ≥ 0.

1. Рассмотрим выражение слева: оно уже представлено как сумма квадрата x² и числа 1.
2. Поскольку x — действительное число, x² ≥ 0, а постоянное слагаемое 1 строго положительно. Значит, их сумма неотрицательна.
3. Можно также заметить, что сумма даже строго положительна: к неотрицательному числу прибавили единицу.

Ответ: x² + 1 ≥ 0 для всех действительных x.

Задача 2. Докажите, что для любых действительных a и b выполнено a² + b² ≥ 2ab.

1. Чтобы сравнить части, вычтем правую из левой и получим a² + b² − 2ab.
2. Это выражение является квадратом разности: a² + b² − 2ab = (a − b)². Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому разность частей неотрицательна.
3. Равенство возможно, когда (a − b)² = 0, то есть a − b = 0. Следовательно, a = b; это условие подходит для любых действительных a и b.

Ответ: неравенство верно при любых a и b; равенство достигается при a = b.

Задача 3. Докажите, что при x > 0 выполнено x + 1/x ≥ 2, и укажите, когда достигается равенство.

1. Область x > 0 существенна: дробь определена, а на это положительное число можно умножать, не меняя знак неравенства.
2. Вычтем 2 и приведём выражение к общему знаменателю: x + 1/x − 2 = (x² − 2x + 1)/x = (x − 1)²/x.
3. Числитель — квадрат, поэтому он неотрицателен, а знаменатель положителен из-за условия x > 0. Значит, вся дробь неотрицательна, и исходное неравенство доказано.
4. Для равенства дробь должна быть равна нулю. Поскольку знаменатель не равен нулю, требуется (x − 1)² = 0, откуда x = 1; это значение входит в заданную область.

Ответ: при x > 0 неравенство верно; равенство достигается при x = 1.

Типичные ошибки

Квадрат считают неотрицательным, не проверив, что выражение под ним определено и действительно. Например, дробь внутри квадрата может не существовать при нулевом знаменателе, а корень в действительных числах — при отрицательном подкоренном выражении. Такая ошибка возникает, когда узнают знакомую форму и пропускают область определения; перед использованием свойства проверьте допустимые значения исходного выражения.

Нельзя умножать неравенство на выражение неизвестного знака, не разбирая случаи. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому прежний вывод может стать противоположным. Ошибка часто появляется при стремлении избавиться от знаменателя; сначала установите знак множителя или разделите область на случаи, а затем следите за направлением знака.

Преобразование может быть верно лишь при дополнительных условиях, например при x > 0 или при ненулевом знаменателе. Если условие не указано, доказательство выглядит общим, хотя фактически охватывает только часть значений; это особенно легко пропустить при сокращении дробей или делении на выражение. Проверяйте, на каких значениях выполнен каждый шаг, и сопоставляйте их с исходной областью.

Нельзя утверждать, что равенство достигается, не решив уравнение, полученное из разности частей. Нулевая разность может соответствовать значениям, которые не входят в область допустимых значений, или вообще не иметь решений. Чтобы проверить себя, приравняйте разность к нулю, решите уравнение и подставьте найденные значения в условия задачи.

Связь с другими темами

Для работы с неотрицательностью нужны свойства порядка действительных чисел и правила преобразования неравенств. Также необходимо уметь находить область определения выражений: без этого нельзя безопасно делить на переменную или рассматривать дробь. Навык особенно полезен при доказательстве алгебраических неравенств, поиске наибольших и наименьших значений и исследовании функций. Во всех этих задачах сведение вопроса к знаку выражения помогает получить строгий вывод.

Что запомнить

• Для доказательства f(x) ≥ g(x) исследуют знак f(x) − g(x).
• Квадрат действительного выражения неотрицателен.
• Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна.
• Знак произведения зависит от знаков множителей.
• При преобразованиях необходимо учитывать область допустимых значений.
• Равенство достигается при нулевой разности частей.