13.3. Использование ограниченности функций

Определения и обозначения

Функция ограничена сверху на рассматриваемом множестве, если существует число A, которого не превосходит ни одно её значение: f(x) ≤ A. Число A называют верхней границей. Функция может иметь несколько таких границ, поэтому это условие не означает, что она достигает наибольшего значения. В задачах с пределами верхнюю границу используют, чтобы контролировать значения функции рядом с нужной точкой.

Функция ограничена снизу, если существует число B, такое что f(x) ≥ B для всех x из рассматриваемого множества. Число B называют нижней границей. Иными словами, значения функции не опускаются ниже некоторого постоянного уровня. Вместе с ограниченностью сверху это даёт контроль и над большими, и над малыми значениями.

Функция ограничена, если её значения заключены между двумя постоянными: B ≤ f(x) ≤ A. Это равносильно существованию числа M > 0, для которого |f(x)| ≤ M. Модуль позволяет записать обе границы одной оценкой, поэтому такая форма особенно удобна при работе с произведениями и пределами. Например, если -3 ≤ f(x) ≤ 3, можно взять M = 3.

Функция ограничена в окрестности точки, если подходящие постоянные границы действуют при всех x, достаточно близких к этой точке. При вычислении предела не обязательно требовать, чтобы оценка выполнялась в самой точке: функция там может даже не быть определена. Достаточно, чтобы она была ограничена в проколотой окрестности, то есть рядом с точкой, но без неё. Это позволяет применять оценку именно там, где рассматривается предел.

Как это устроено

Пусть на нужном множестве функция ограничена сверху числом A и снизу числом B. Тогда её значения лежат в промежутке [B; A], а значит, их модуль не превосходит некоторого положительного числа M. Такая запись удобна тем, что сразу даёт оценку абсолютной величины выражения, не требуя отдельно разбирать случаи f(x) ≥ 0 и f(x) < 0. В доказательстве предела оценку модуля можно сопоставить с числом, стремящимся к нулю.

Если |f(x)| ≤ M, а g(x) → 0, то из свойств модуля следует |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| ≤ M|g(x)|. Правая часть стремится к нулю, потому что M — постоянное число, а |g(x)| → 0. Следовательно, модуль произведения становится сколь угодно малым, и само произведение стремится к нулю. Именно поэтому ограниченность одного множителя компенсирует отсутствие у него собственного предела.

Чтобы применить результат к пределу, сначала раздели выражение на множитель, который стремится к нулю, и оставшуюся часть. Затем докажи, что оставшаяся часть ограничена в нужной окрестности, и оцени модуль всего произведения. Например, если x → 0, множитель x стремится к нулю; если рядом с нулём второй множитель ограничен, произведение стремится к нулю. Предел ограниченного множителя вычислять не требуется.

Синус и косинус удобны тем, что при любом действительном аргументе выполняются |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1. Поэтому ограниченными остаются и sin(1/x), и cos(1/x²), хотя их аргументы при x → 0 неограниченно меняются. Например, |x² cos(1/x²)| ≤ x². Правая часть стремится к нулю, так что колебания косинуса не мешают найти предел.

Оценка особенно полезна, когда один множитель колеблется и его предел невозможно найти или искать не нужно. Вместо вычисления предела каждого множителя достаточно показать, что один из них ограничен, а другой стремится к нулю. Это не правило о пределе произведения двух произвольных функций, а отдельный результат для произведения бесконечно малой и ограниченной функций. Проверяй, что ограниченность установлена именно рядом с точкой, к которой стремится x.

Как ограниченность помогает находить пределы

Найди в условии множитель, стремящийся к нулю, и проверь, ограничен ли второй множитель около нужной точки. Затем запиши оценку модуля произведения и установи, что её правая часть стремится к нулю. Если в выражении есть синус или косинус, их модуль можно сразу оценить единицей.

Разбор задач

Предел x sin(1/x) при x → 0

Аргумент синуса меняется без ограничения, поэтому вычислять предел sin(1/x) отдельно не получится. Но синус ограничен при любом аргументе. Используем это свойство и сравним модуль всего выражения с величиной, предел которой известен.

1. Так как |sin(1/x)| ≤ 1 при x ≠ 0, имеем |x sin(1/x)| = |x||sin(1/x)| ≤ |x|.
2. При x → 0 величина |x| стремится к нулю, а модуль выражения неотрицателен. По теореме о зажатой функции модуль произведения тоже стремится к нулю.
3. Значит, само выражение стремится к нулю.

Ответ: 0.

Предел x² cos(1/x²) при x → 0

Косинус здесь тоже колеблется из-за быстро меняющегося аргумента. Однако его модуль всегда не больше единицы. Поэтому ограниченность косинуса сразу позволяет оценить выражение величиной x².

1. Для x ≠ 0 имеем |cos(1/x²)| ≤ 1, следовательно, |x² cos(1/x²)| ≤ x².
2. При x → 0 правая часть x² стремится к нулю. По теореме о зажатой функции модуль выражения стремится к нулю.
3. Значит, предел исходного выражения равен нулю.

Ответ: 0.

Предел (sin x)/x · sin(1/x) при x → 0

В первом множителе используется замечательный предел, а второй множитель колеблется и не имеет предела. Не нужно пытаться перемножить пределы: достаточно выяснить, ограничен ли первый множитель, и оценить второй. Для этого удобно сначала установить предел первого множителя.

1. По замечательному пределу (sin x)/x → 1 при x → 0. Значит, в некоторой окрестности нуля этот множитель ограничен, например его модуль меньше 2.
2. Для второго множителя при x ≠ 0 выполняется |sin(1/x)| ≤ 1. Тогда модуль произведения не превосходит 2, и эта оценка не показывает стремления к нулю, поэтому применяем другой подход: первый множитель стремится к 1, а sin(1/x) не имеет предела.
3. Чтобы проверить предел произведения, рассмотрим последовательности xₙ = 1/(π/2 + 2πn) и yₙ = 1/(3π/2 + 2πn). При обеих последовательностях x → 0, первый множитель стремится к 1, а синус равен соответственно 1 и -1. Значит, произведение имеет разные предельные значения.

Ответ: предел не существует.

Типичные ошибки

Ограниченность принимают за наличие предела. Это происходит потому, что слово «ограничена» можно ошибочно понять как «приближается к определённому числу», хотя оно сообщает только о границах значений. Проверка: попробуй найти разные последовательности аргументов, на которых значения функции ведут себя по-разному; например, sin(1/x) ограничена, но колеблется при x → 0.

Теорему применяют, хотя функция ограничена не в той окрестности или не на том множестве, где рассматривается предел. Ограниченность на далёком промежутке не гарантирует оценки рядом с нужной точкой. Перед выводом выпиши, при каких x действует |f(x)| ≤ M, и сравни это условие с выбранным пределом.

Иногда забывают, что для вывода о стремлении произведения к нулю один множитель должен стремиться к нулю, а другой — оставаться ограниченным. Ограниченность первого множителя сама по себе не делает произведение малым. Проверь, какой именно множитель играет каждую роль, и укажи предел бесконечно малого множителя.

Нельзя заключать, что произведение двух ограниченных функций стремится к нулю. Например, произведение постоянных функций 1 и 1 равно 1, а не нулю; здесь обе функции ограничены, но ни одна не стремится к нулю. Чтобы проверить рассуждение, найди в условиях множитель, стремящийся к нулю, и только после этого применяй оценку.

Связь с другими темами

Для работы с ограниченностью нужны понятия предела функции и бесконечно малой функции: именно они позволяют понять, почему оценка сверху величиной, стремящейся к нулю, даёт нужный вывод. Также пригодятся свойства неравенств и модуля, с помощью которых оценивают произведение. Ограниченность синуса и косинуса связывает приём с тригонометрическими функциями. Позже он поможет находить пределы сложных выражений и доказывать предельные соотношения, не вычисляя предел каждого множителя.

Что запомнить

• Ограниченная функция принимает значения между некоторыми постоянными границами.
• Для ограниченной функции существует M > 0, такое что |f(x)| ≤ M.
• Для вычисления предела достаточно установить ограниченность в некоторой окрестности точки.
• Произведение ограниченной функции на функцию, стремящуюся к нулю, стремится к нулю.
• Синус и косинус ограничены: их модуль не превосходит 1.
• Ограниченность сама по себе не означает существования предела.