13.4. Использование монотонности и экстремумов функций

Определения и обозначения

Функция называется монотонной на промежутке, если она на всём этом промежутке только возрастает или только убывает. Возрастающая функция удовлетворяет условию: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂); у убывающей при тех же x₁ и x₂ выполняется f(x₁) > f(x₂). Сравнение значений показывает направление изменения функции и помогает исследовать уравнения и неравенства.

Точка экстремума — точка, в некоторой окрестности которой значение функции не меньше всех соседних значений или не больше их. В первом случае это точка локального максимума, во втором — точка локального минимума. Слово «локальный» означает, что сравнивают только близкие значения; это помогает отличить такой экстремум от наибольшего или наименьшего значения на целом промежутке.

Максимум функции на заданном множестве — её наибольшее значение на этом множестве. Например, на одном промежутке максимум может быть равен 5, а после изменения промежутка в него может попасть значение больше 5. Поэтому, называя максимум, всегда указывают, где именно рассматривают функцию.

Минимум функции на заданном множестве — её наименьшее значение на этом множестве. Локальный минимум сравнивают лишь со значениями поблизости, а обычный минимум — со всеми значениями на выбранном множестве. Различие нужно учитывать, когда требуется найти самое маленькое значение на отрезке или в другой области.

Как это устроено

Если функция строго возрастает, то при переходе от меньшего x к большему значение f(x) тоже строго увеличивается; у строго убывающей функции оно уменьшается. Поэтому два разных значения аргумента не могут дать одно и то же значение функции. Отсюда следует: уравнение f(x) = a имеет на промежутке строгой монотонности не более одного корня, хотя наличие хотя бы одного корня ещё нужно доказать отдельно.

Чтобы решить неравенство f(x) > 0 или f(x) < 0, полезно найти нули функции и выяснить, как она меняется по обе стороны от них. Если функция строго монотонна и пересекает ноль в точке r, то до и после r её значения располагаются по разные стороны от нуля. Например, для возрастающей функции значения слева от корня отрицательны, а справа положительны, если корень существует и других нулей на промежутке нет. Так монотонность позволяет определить знак выражения без подстановки множества пробных чисел.

На отрезке функция может достигать наибольшего или наименьшего значения внутри него либо на конце. Критические точки — это внутренние точки, в которых исследование функции может обнаружить экстремум; например, в них производная равна нулю или не существует. Сначала находят такие точки, попадающие в отрезок, затем вычисляют значения функции в них и на обоих концах. Сравнение всех полученных значений и даёт ответ.

Промежутки возрастания и убывания объясняют, почему возникает локальный экстремум. Если при движении слева направо функция сначала возрастает, а затем убывает, точка перехода становится локальным максимумом: рядом слева значения меньше, и справа тоже меньше. При переходе от убывания к возрастанию возникает локальный минимум. Если направления изменения не меняются, такой переходный экстремум не появляется.

В задаче на оптимизацию сначала выбирают переменную и записывают через неё величину, которую требуется сделать наибольшей или наименьшей. Затем из условий задачи определяют допустимые значения переменной: за их пределами модель теряет смысл или нарушаются ограничения. На этой области исследуют функцию цели, проверяя критические точки и, если область включает концы, сами концы. Полученное значение переменной переводят обратно на язык исходной задачи.

Как монотонность и экстремумы помогают решать задачи

Сначала определите, какой именно результат нужен: число корней, промежутки знакопостоянства или экстремальное значение. Затем исследуйте только соответствующие свойства функции и учитывайте границы заданного промежутка. Для оптимизационной задачи дополнительно проверьте, что найденное значение переменной допустимо по условию.

Разбор задач

Единственность корня уравнения

Докажите, что уравнение x³ + x = 2 имеет не более одного корня, и найдите его. Рассмотрим функцию f(x) = x³ + x на всей числовой прямой. Чтобы доказать единственность, достаточно установить её строгую монотонность, а чтобы найти корень — проверить подходящее значение.

1. Пусть x₁ < x₂. Тогда f(x₂) − f(x₁) = (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁² + 1).
2. Первый множитель положителен. Выражение x₂² + x₁x₂ + x₁² неотрицательно, так как равно (x₁ + x₂/2)² + 3x₂²/4; значит, второй множитель строго положителен.
3. Получили f(x₂) > f(x₁), поэтому функция строго возрастает и принимает каждое значение не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
4. Подставим x = 1: 1³ + 1 = 2. Значит, x = 1 — корень, и из доказанной единственности следует, что других корней нет.

Ответ: единственный корень — x = 1.

Знак выражения на промежутках

Решите неравенство x² − 4x + 3 > 0, используя промежутки монотонности функции. Зададим f(x) = x² − 4x + 3. Её график меняет направление при x = 2, поэтому сначала удобно исследовать функцию отдельно слева и справа от этой точки, а затем учесть найденные нули.

1. Вершина параболы находится при x = 2. Функция убывает на промежутке до 2 и возрастает после 2.
2. Разложим выражение на множители: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Нули функции — x = 1 и x = 3; они лежат по разные стороны от вершины.
3. При x < 1 функция убывает к нулю, оставаясь положительной. Между 1 и 3 она отрицательна: после нуля x = 1 убывающая функция становится меньше нуля, а до нуля x = 3 возрастающая остаётся ниже нуля.
4. При x > 3 функция возрастает от нуля и становится положительной. Саму точки x = 1 и x = 3 не включаем, так как неравенство строгое.

Ответ: x < 1 или x > 3.

Максимальный объём коробки

Из прямоугольного листа размером 12 × 8 вырезают по углам одинаковые квадраты и загибают края. Найдите размер квадрата, при котором объём коробки максимален. Если сторона квадрата равна x, высота коробки будет x, а стороны её основания — 12 − 2x и 8 − 2x. Размер должен быть положительным, поэтому допустимо 0 < x < 4.

1. Запишем объём: V(x) = x(12 − 2x)(8 − 2x). На концах замкнутого промежутка [0; 4] эта формула даёт V(0) = V(4) = 0, а внутри допустимой области объём положителен.
2. Найдём критические точки: V(x) = 4x³ − 40x² + 96x, поэтому V′(x) = 12x² − 80x + 96. Решение уравнения V′(x) = 0: x = (10 − 2√7)/3 или x = (10 + 2√7)/3; обе точки лежат внутри [0; 4].
3. Знак производной положителен до первой точки, отрицателен между точками и снова положителен после второй. Значит, объём сначала растёт, затем убывает, а потом вновь растёт. Первая точка даёт локальный максимум, вторая — локальный минимум.
4. Сравним значения объёма в критических точках и на концах. На концах объём равен нулю; на первой критической точке значение положительно и больше, чем на второй, где функция уже достигла локального минимума. Поэтому наибольший объём достигается при x = (10 − 2√7)/3.

Ответ: нужно вырезать квадраты со стороной (10 − 2√7)/3, примерно 1,57 единицы длины.

Типичные ошибки

Монотонность принимают за доказательство существования корня. Она показывает лишь, что одно значение функция не примет дважды, поэтому уравнение имеет не более одного корня. Ошибка возникает, когда единственность смешивают с наличием решения. Проверьте себя: подставьте найденный корень или отдельно обоснуйте, что функция действительно достигает нужного значения.

Монотонность на одном промежутке переносят на всю область определения. Но направление изменения может меняться: например, парабола сначала убывает, а затем возрастает. Такой вывод часто делают, исследовав только часть графика или не указав промежуток. Всегда фиксируйте, где доказана монотонность, и проверяйте, не содержит ли область переходных точек.

При поиске максимума или минимума на отрезке проверяют только критические точки. Однако наибольшее или наименьшее значение может оказаться на конце, даже если внутри отрезка есть критические точки. Концы легко забыть, сосредоточившись на производной. Перед ответом составьте список кандидатов: все внутренние критические точки и оба конца отрезка.

Локальный экстремум считают наибольшим или наименьшим значением на всём множестве. Локальное сравнение охватывает только близкие точки, поэтому в другом месте функция может принимать значение больше или меньше. Путаница возникает из-за одинаковых слов «максимум» и «минимум». Проверяйте, какое множество указано в задаче, и сравнивайте значение со всеми значениями функции на нём.

Связь с другими темами

Для работы с монотонностью нужно знать, что значит возрастание и убывание функции, уметь исследовать её поведение и находить нули. Также пригодятся навыки решения уравнений и неравенств и вычисления значений функции в точках. Эти действия связывают свойства функции с конкретными ответами: корнями, промежутками знака и экстремальными значениями. Позже монотонность и экстремумы используют при полном исследовании функций, решении задач с параметрами и прикладных задач на оптимизацию.

Что запомнить

• Строго монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза.
• Монотонность сама по себе не доказывает существование корня.
• На отрезке наибольшее и наименьшее значения ищут среди значений в критических точках и на концах.
• При переходе от возрастания к убыванию возникает локальный максимум.
• При переходе от убывания к возрастанию возникает локальный минимум.
• В задаче на оптимизацию сначала задают функцию цели и её допустимую область.