"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Синус и косинус — ограниченные периодические функции, значения которых всегда лежат между −1 и 1. Их свойства помогают оценивать выражения, доказывать неравенства и находить наибольшее и наименьшее значения. Для этого важно учитывать знаки слагаемых, уметь менять аргумент с помощью периода и использовать чётность функций. Если в выражении одновременно есть синус и косинус, оценку часто уточняют с помощью тождества sin² x + cos² x = 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Для любого действительного x выполняется −1 ≤ sin x ≤ 1. Это называют ограниченностью синуса: его значения не выходят за указанный промежуток. Свойство позволяет сразу получать границы выражений с синусом, не подбирая конкретные значения аргумента.
Для косинуса также верно −1 ≤ cos x ≤ 1. Ограниченность косинуса означает, что и он не может принимать значения за пределами от −1 до 1. Вместе эти оценки служат отправной точкой при сравнении выражений, содержащих обе функции.
Синус и косинус периодические: sin(x + 2πk) = sin x и cos(x + 2πk) = cos x при любом целом k. Число 2π называют периодом каждой функции, поскольку после такого изменения аргумента значение повторяется. Это позволяет заменять аргумент на более удобный, сохраняя значение функции.
Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x, а синус — нечётная: sin(−x) = −sin x. Иными словами, при смене знака аргумента косинус сохраняет значение, а синус меняет его знак. Это помогает упрощать выражения и сравнивать значения при противоположных аргументах.
Из неравенства −1 ≤ sin x ≤ 1 можно получить границы выражения, прибавляя одно и то же число ко всем трём частям. Например, после прибавления 2 получаем 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3. При умножении на положительное число порядок сохраняется, а при умножении на отрицательное — меняется, поэтому знаки коэффициентов обязательно учитывают.
Если в сумме несколько слагаемых, каждое можно ограничить отдельно, но при этом нужно следить за знаками. Например, −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1 дают sin x + cos x ≤ 2. Это верная оценка, однако для точной верхней границы она слишком груба: синус и косинус связаны одним аргументом и не могут одновременно равняться 1. Для разности рассуждают так же, помня, что вычитание cos x равносильно прибавлению −cos x.
Периодичность помогает упростить аргумент, если к нему добавлено целое число периодов. Например, sin(5π/2 + x) = sin(π/2 + x), потому что 5π/2 отличается от π/2 на 2π. Но период зависит от того, как устроен аргумент: у sin 2x период по x равен π, ведь при прибавлении π к x аргумент 2x увеличивается на 2π. Поэтому нельзя автоматически переносить период функции на выражение внутри неё.
Чётность и нечётность особенно полезны, когда в одном выражении встречаются x и −x. Например, sin x + sin(−x) = 0, а cos x − cos(−x) = 0. Такие равенства позволяют сокращать выражения или выяснять, совпадают ли значения функций в двух точках. Для смешанных выражений сначала заменяют функции от −x по их свойствам, а затем упрощают результат.
Основное тождество sin² x + cos² x = 1 показывает, что значения синуса и косинуса нельзя выбирать независимо: сумма их квадратов всегда фиксирована. Поэтому оно помогает получить более точную оценку, чем отдельные границы. Например, из (sin x + cos x)² ≤ 2(sin² x + cos² x) следует (sin x + cos x)² ≤ 2, а значит, sin x + cos x ≤ √2. При доказательстве верхней границы достаточно этого вывода, но для нахождения наибольшего значения ещё проверяют, достигается ли равенство.
| Свойство | Синус | Косинус | Как использовать |
|---|---|---|---|
| Область определения | Все действительные x | Все действительные x | Проверить, что аргумент допустим |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | Получить границы выражения |
| Период | 2π | 2π | Заменить аргумент на равный по значению |
| Чётность или нечётность | Нечётная: sin(−x) = −sin x | Чётная: cos(−x) = cos x | Упростить выражение с аргументом −x |
| Пример применения свойства | −1 ≤ sin x ≤ 1 | −1 ≤ cos x ≤ 1 | Оценить 3 + 2 sin x или преобразовать cos(−x) |
Сначала определите, какое свойство подходит к задаче: ограниченность нужна для оценок, периодичность — для замены аргумента, чётность — для упрощения. Затем проверьте, не связаны ли синус и косинус тождеством sin² x + cos² x = 1. Для точного наибольшего или наименьшего значения обязательно выясните, достигается ли найденная граница.
Задача 1. Найдите все возможные значения выражения 3 + 2 sin x. Нужно оценить синус, а затем учесть, что коэффициент перед ним положительный. Поэтому умножение на 2 не меняет порядок знаков неравенства.
Ответ: от 1 до 5 включительно.
Задача 2. Докажите, что для любого x выполняется sin x + cos x ≤ √2. Отдельные оценки дали бы только сумму не больше 2, а она не точна: нельзя одновременно получить sin x = cos x = 1. Связь функций через основное тождество позволяет уточнить границу.
Ответ: неравенство доказано; равенство достигается при x = π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Задача 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 2 sin x − cos x. Представим его как один синус, чтобы использовать известные границы этой функции. Для этого выберем угол φ так, чтобы коэффициенты при sin x и cos x после раскрытия синуса стали 2 и −1.
Ответ: наибольшее значение √5, наименьшее значение −√5.
Ошибка: считать, что синус и косинус всегда неотрицательны. Такое представление появляется из-за примеров с острыми углами, но знак зависит от аргумента и четверти окружности. Проверка: вспомните, что обе функции принимают и положительные, и отрицательные значения, например sin(3π/2) = −1.
Ошибка: складывать верхние границы отдельных слагаемых и считать результат точным максимумом. Полученная оценка может быть верной, но максимумы слагаемых способны достигаться при разных x. Проверка: подставьте значение аргумента, при котором каждое слагаемое достигает своей границы, и выясните, возможно ли это одновременно.
Ошибка: забывать, что период синуса и косинуса равен 2π, или неверно переносить его на изменённый аргумент. Например, у sin 2x период по x равен π, а не 2π. Проверка: увеличьте аргумент функции на 2π и решите, на сколько при этом должен измениться x.
Ошибка: путать чётность функций и неверно преобразовывать sin(−x) или cos(−x). Часто обе функции по ошибке считают чётными, потому что их графики имеют похожие повторения. Проверка: запишите отдельно cos(−x) = cos x и sin(−x) = −sin x, а затем подставьте эти равенства в выражение.
Для работы с синусом и косинусом нужны единичная окружность, значения функций и основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1. При преобразовании оценок также применяются правила действий с неравенствами, в частности смена знака при умножении на отрицательное число. Периодичность и чётность опираются на свойства тригонометрических функций, изученные при построении их графиков. В дальнейшем эти приёмы пригодятся при доказательстве неравенств и поиске наибольших и наименьших значений.
Почему синус и косинус не могут быть больше 1 или меньше −1?
На единичной окружности sin x и cos x — координаты точки. Координаты точки на окружности радиуса 1 не выходят за пределы от −1 до 1, поэтому −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
Как оценить выражение, в котором есть и синус, и косинус?
Сначала используют границы каждого слагаемого, учитывая его знак и коэффициент. Если нужна более точная оценка, применяют тождество sin² x + cos² x = 1 или преобразуют выражение к одному синусу либо косинусу.
Почему нельзя всегда складывать наибольшие значения слагаемых?
Максимумы отдельных слагаемых могут достигаться при разных значениях x. Поэтому полученная сумма верхних границ иногда верна, но не является точным наибольшим значением. Нужно проверить, существует ли один аргумент, при котором все границы достигаются одновременно.
Как использовать периодичность, если аргумент функции изменён?
Период можно прибавлять или вычитать только в виде целого числа периодов. Например, sin(x + 2πk) = sin x при любом целом k. Если аргумент имеет вид 2x, его период по x равен π, потому что 2(x + π) = 2x + 2π.
Как найти наибольшее значение выражения вида a sin x + b cos x?
Выражение можно представить как R sin(x + φ), где R = √(a² + b²), а угол φ выбирают по коэффициентам. Поскольку синус принимает значения от −1 до 1, наибольшее значение равно R, а наименьшее — −R.
13.5. Использование свойств синуса и косинуса
