"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система уравнений с несколькими неизвестными объединяет уравнения, которым должны одновременно удовлетворять одни и те же значения переменных. Решение системы — набор чисел, превращающий каждое уравнение в верное равенство. Для поиска решений применяют подстановку, сложение или вычитание уравнений, сохраняя равносильность преобразований. Система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с несколькими неизвестными записывают так: a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Числа a₁, a₂, …, aₙ называют коэффициентами при неизвестных, а b — свободным членом. Такой вид помогает увидеть, какие переменные входят в уравнение и с какими «весами» они участвуют.
Система уравнений — это несколько уравнений, объединённых фигурной скобкой и рассматриваемых одновременно. Её решение должно удовлетворять каждому уравнению системы, а не только одному из них. Поэтому систему нельзя решать, выбирая подходящие значения отдельно для разных уравнений.
Решение системы — это набор значений неизвестных, при подстановке которого все уравнения превращаются в верные равенства. Например, решение системы с переменными x и y записывают парой (x; y). Такое определение задаёт точный способ проверки найденного ответа.
Равносильные системы — это системы, у которых совпадают множества решений. Их уравнения могут выглядеть по-разному, но приводить к одним и тем же наборам неизвестных. Равносильность позволяет заменять исходную систему более удобной, не теряя и не добавляя решений.
Решение системы сводится к поиску общих значений неизвестных, подходящих всем уравнениям сразу. Одно уравнение обычно задаёт множество возможных наборов, а каждое следующее отбирает из него только подходящие. Поэтому решение каждого уравнения по отдельности недостаточно: нужно найти пересечение всех множеств решений.
Преобразование уравнения допустимо, если оно не меняет множество его решений и, следовательно, множество решений системы. Уравнение можно умножить или разделить на ненулевое число, потому что верность равенства от этого не изменится. Можно также прибавить к одному уравнению другое, так как любой общий набор, удовлетворяющий обоим исходным равенствам, удовлетворит и их сумме.
Метод исключения неизвестных основан на том, что переменную можно убрать подходящим сложением или вычитанием уравнений. Сначала при необходимости умножают уравнения на числа, чтобы коэффициенты выбранной переменной стали противоположными. После сложения эта переменная исчезает, и получается система с меньшим числом неизвестных; затем найденные значения восстанавливают обратной подстановкой.
Метод подстановки уменьшает число неизвестных иначе. Одну переменную выражают через остальные, например x = 5 − y, и подставляют это выражение в другие уравнения. После решения полученной системы найденные значения подставляют обратно в выраженные переменные, чтобы получить полный набор.
Число решений зависит от согласованности и зависимости уравнений. Если условия совместны и не дублируют друг друга, обычно получается один набор значений; если они противоречат друг другу, решений нет. Когда часть уравнений фактически повторяет остальные, одна или несколько переменных могут оставаться свободными, и тогда решений бесконечно много.
| Ситуация | Что получается при преобразованиях | Число решений |
|---|---|---|
| Независимые согласованные уравнения | Определённые значения всех неизвестных | Одно |
| Противоречивые уравнения | Противоречие, например 0 = 5 | Ни одного |
| Зависимые уравнения, одно выражается через другие | Тождество, например 0 = 0, и свободные переменные | Бесконечно много |
При решении сравнивайте полученное равенство с тремя типами в таблице. Равенство 0 = 5 сразу останавливает решение: система несовместна. Тождество 0 = 0 не даёт нового ограничения, поэтому оставшиеся переменные задают семейство решений.
Нужно найти пару (x; y), которая одновременно удовлетворяет двум уравнениям. Коэффициенты при y противоположны, поэтому выгодно сложить уравнения. После этого одна переменная исчезнет.
Ответ: (4; 3). Сложение сохранило решения системы и сразу уменьшило число неизвестных.
В первых двух уравнениях переменные y и z имеют противоположные коэффициенты одновременно. Поэтому сначала сложим их и получим уравнение только с x. Затем используем третье уравнение, чтобы найти y.
Ответ: (x; y; z) = (1; ½; −½). Последовательное исключение и подстановка превратили систему с тремя неизвестными в более простые шаги.
Первые два уравнения согласованы: второе получается умножением первого на 2. Но первое и третье требуют от одной и той же суммы разных значений, 2 и 5. Это противоречие делает невозможным любой набор x, y и z.
Ответ: система не имеет решений. Зависимость двух уравнений не устраняет противоречие с третьим.
Иногда за решение системы принимают значения, подходящие только к одному уравнению. Так происходит, когда после первого вычисления забывают о других ограничениях. Подставьте ответ во все исходные уравнения, а не только в то, с которого начали.
Нельзя умножать уравнение на ноль или делить на выражение, которое может обратиться в ноль. Умножение на ноль стирает исходную информацию, а деление без условия может исключить допустимый случай. Перед таким действием проверьте, что множитель ненулевой.
При сложении уравнений ошибочно меняют знак только у одного слагаемого или складывают правые части не полностью. Нужно складывать левые части целиком и отдельно складывать правые части, сохраняя каждый знак. Полезно записать действие в скобках: (левая часть 1) + (левая часть 2) = (правая часть 1) + (правая часть 2).
После исключения одной переменной иногда не находят остальные неизвестные или не выполняют проверку. Полученное промежуточное значение ещё не является полным ответом системы. Выполните обратную подстановку и проверьте весь набор в исходных уравнениях.
До изучения систем нужны навыки решения линейных уравнений, преобразования выражений и подстановки значений переменных. Без них трудно аккуратно выполнять исключение и обратную подстановку. Эти действия составляют основу почти каждого способа решения.
Система связана с графическим решением: общие решения соответствуют точкам пересечения графиков уравнений. Одна точка означает единственное решение, отсутствие пересечения — отсутствие решений. Совпадение графиков соответствует бесконечному числу общих решений.
Методы систем применяются при изучении нелинейных систем и задач с параметрами. Они также помогают составлять математические модели прикладных задач, например о движении, смесях или совместной работе. Умение сохранять равносильность особенно важно при усложнении условий.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения должно удовлетворять только этому уравнению. Решение системы обязано одновременно подходить ко всем уравнениям, поэтому множество решений обычно получается меньше.
Почему можно складывать уравнения системы?
Если сложить левые и правые части двух верных равенств, получится новое верное равенство. При использовании такого преобразования вместе с исходным уравнением множество решений сохраняется.
Как выбрать между методом подстановки и методом исключения?
Подстановка удобна, когда одну переменную легко выразить через другую. Исключение выбирают, если коэффициенты позволяют быстро сложить или вычесть уравнения и убрать переменную.
Что означает противоречие, полученное при решении системы?
Равенство вроде 0 = 5 невозможно ни при каких значениях переменных. Значит, исходная система несовместна и решений не имеет.
Зачем проверять найденные значения в исходной системе?
Проверка показывает, удовлетворяет ли найденный набор всем исходным уравнениям. Она помогает обнаружить ошибки в знаках, вычислениях и обратной подстановке.
§ 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными
