"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Системой уравнений называют несколько условий для одних и тех же неизвестных, которые должны выполняться одновременно. Решать систему удобнее, если преобразовать её к более простому виду, не меняя набора решений. Для этого используют равносильные преобразования: переставляют уравнения, заменяют одно равносильным или складывают уравнения по определённым правилам. При каждом шаге важно сохранять ограничения на неизвестные и проверять, не появились ли посторонние решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, запись x + y = 5, 2x − y = 1 означает, что оба равенства должны быть верны для одной пары чисел. Это понятие нужно, чтобы отличать совместное выполнение условий от решения каждого уравнения по отдельности.
Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий в верные все уравнения системы. Для системы с x и y это обычно пара чисел (x; y), а не два независимых ответа. Такое понимание помогает проверять результат: подставить значения нужно в каждое уравнение.
Равносильные системы — системы с одним и тем же множеством решений. Это не значит, что записи или число уравнений в них обязательно одинаковы: важны только подходящие наборы неизвестных. Понятие позволяет судить, не изменился ли ответ после упрощения системы.
Равносильное преобразование системы — преобразование, не изменяющее множество её решений. После него систему можно решать в более удобной форме, не теряя подходящих наборов и не добавляя новых. Поэтому при преобразовании проверяют, можно ли выполнить обратный переход.
Равносильность определяется совпадением множеств решений, поэтому внешний вид системы сам по себе ничего не решает. Порядок уравнений можно менять: если пара чисел удовлетворяла всем равенствам до перестановки, она удовлетворяет им и после неё. Обозначение системы тоже не влияет на её содержание, поскольку задаёт лишь способ записи условий.
Можно заменить одно уравнение системы другим равносильным уравнением, если остальные условия оставить без изменений. У равносильных уравнений одинаковы решения в принятой области допустимых значений, поэтому наборы, подходящие всей системе, также остаются теми же. Например, уравнения 2x = 6 и x = 3 равносильны, поскольку каждое из них выполняется ровно при x = 3.
Для упрощения системы часто переставляют уравнения, умножают одно из них на ненулевое число или заменяют его суммой с другим уравнением системы. Умножение на ненулевое число обратимо: полученное равенство можно разделить на этот же множитель. При сложении исходное уравнение восстанавливается вычитанием второго, но только если это второе уравнение сохранено.
Если новое уравнение лишь следует из исходного, обратный переход может оказаться невозможен. Например, из x = 2 следует x² = 4, но последнее уравнение имеет ещё решение x = −2. Замена без дополнительных условий тогда меняет множество решений, поэтому при каждом шаге нужно выяснять, верно ли и обратное следствие.
С дробями, корнями и другими выражениями с ограничениями нужно работать особенно внимательно. В дробном уравнении знаменатель не может быть нулём, а после умножения на выражение с неизвестными его нули могут стать допустимыми для преобразованной записи. Ограничения записывают заранее, а найденные значения проверяют в исходной системе, чтобы не принять постороннее решение за ответ.
| Преобразование | Условие применения | Почему решения сохраняются | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Перестановка уравнений системы | Всегда | Все уравнения по-прежнему должны выполняться одновременно | Ничего дополнительного |
| Замена уравнения равносильным ему уравнением | Новое уравнение имеет то же множество решений в принятой области допустимых значений | Ограничения, задаваемые этим уравнением, не меняются | Область допустимых значений |
| Умножение или деление уравнения на ненулевое число | Множитель не должен быть равен нулю | Равенство сохраняется при обратном делении или умножении | Ненулевость множителя |
| Замена уравнения суммой его и другого уравнения системы | Исходное второе уравнение сохраняется в системе | Из новой и сохранённой строки можно восстановить исходное уравнение | Не следует удалять уравнение, использованное при сложении |
| Умножение уравнения на выражение с неизвестными | Выражение должно быть ненулевым на всей области допустимых значений | Только тогда преобразование обратимо | Нули множителя и возможные посторонние решения |
Пользуйся таблицей как проверкой перед каждым преобразованием: сначала найди подходящее правило, затем проверь его условие. Если множитель зависит от неизвестной или меняются ограничения, отдельно выясни, не появились ли новые решения. При сложении уравнений сохрани строку, которая позволит восстановить исходное равенство.
Определить, равносильны ли системы x + y = 5, 2x − y = 1 и 2x − y = 1, x + y = 5. Здесь изменён только порядок записи условий. Чтобы обосновать ответ, достаточно проверить, требует ли вторая система от пары (x; y) чего-то другого, чем первая.
Ответ: системы равносильны.
Решить систему x + y = 7, 2x − y = 2, заменив второе уравнение суммой обоих уравнений. Сложение удобно, потому что противоположные слагаемые y и −y уничтожатся. Чтобы преобразование было равносильным, первое уравнение нужно сохранить: из него и новой строки можно восстановить исходное второе.
Ответ: (3; 4).
Решить систему x + y = 5, 1/x + 1/y = 5/6. До преобразования второй строки нужно отметить ограничения x ≠ 0 и y ≠ 0, иначе дроби не определены. Умножим её на xy, которое при этих условиях ненулевое: получим x + y = 5, а значит xy = 6.
Ответ: (2; 3) и (3; 2).
Считать системы равносильными только потому, что в каждой одинаковое число уравнений, — ошибка: число строк ничего не говорит о совпадении решений. Так думают, сравнивая записи внешне, а не проверяя условия. Чтобы себя проверить, сравни множества решений или установи обратимость перехода между системами.
Умножение на выражение, которое может обратиться в ноль, способно добавить решения, но это легко упустить, если действовать по привычному правилу умножения равенства. Перед таким шагом найди нули множителя и рассмотрите отдельно соответствующие случаи. Затем проверь кандидатов в исходной системе.
Замена уравнения его следствием с удалением исходного условия обычно сохраняет лишь часть информации. Ошибка возникает, когда принимают верное следствие за равносильное уравнение: например, x = 2 влечёт x² = 4, но обратный вывод неверен. Проверяй, можно ли из преобразованной системы восстановить исходное уравнение.
В дробном уравнении можно забыть область допустимых значений — значения, при которых выражение определено. Тогда ноль знаменателя ошибочно принимают за решение или не замечают, что преобразование допустимо не для всех значений. Запиши ограничения до вычислений и подставь найденные пары в исходную систему.
Для работы с равносильностью нужно знать, что такое система, её решение, равносильное уравнение и область допустимых значений. Основа преобразований — тождественные преобразования уравнений, сложение и вычитание равенств, умножение и деление равенства на ненулевое число. Эти приёмы применяют при решении линейных и более сложных систем: рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических. В каждой из них правила преобразования сохраняются, но ограничения на неизвестные могут различаться.
Чем равносильные системы отличаются от систем, имеющих хотя бы одно общее решение?
У равносильных систем совпадают все решения, то есть их множества решений одинаковы. Наличие хотя бы одного общего решения этого не гарантирует: у систем могут быть и другие, разные решения.
Почему уравнения системы можно менять местами?
В системе все уравнения должны выполняться одновременно, и их порядок на это не влияет. Поэтому перестановка строк оставляет неизменным множество наборов, удовлетворяющих системе.
Можно ли умножать уравнение на выражение с неизвестной?
Только если выражение не равно нулю на всей рассматриваемой области допустимых значений. Если оно может обратиться в ноль, умножение способно добавить решения, поэтому нужно отдельно рассмотреть нули множителя.
Почему после преобразований системы иногда требуется проверка корней?
Некоторые преобразования не являются обратимыми при всех значениях неизвестных и могут привести к посторонним решениям. Проверка в исходной системе позволяет их обнаружить, а также учесть ограничения, например запрет нулевого знаменателя.
Всегда ли замена уравнения его следствием сохраняет равносильность системы?
Нет. Следствие исходного уравнения может иметь больше решений, чем само уравнение, поэтому замена способна добавить лишние наборы. Чтобы сохранить равносильность, новое уравнение должно иметь то же множество решений либо исходные условия должны оставаться достаточными для восстановления.
14.1. Равносильность систем
