"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система-следствие получается, когда исходную систему преобразуют так, что каждое её решение сохраняется, но могут добавиться новые. Такой переход удобен при сложении уравнений, возведении в квадрат или других преобразованиях. Главное — различать следствие и равносильную систему, понимать направление логического перехода и после решения проверять найденные значения в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система-следствие — система, любое решение которой является решением исходной системы. Если система B — следствие системы A, записывают A ⇒ B: из выполнения A обязательно следует выполнение B. Это обозначение показывает направление перехода, но не гарантирует обратного.
Следствие уравнения — уравнение, которому удовлетворяет каждое решение исходного уравнения. У нового уравнения могут быть и другие решения, поэтому из следствия не всегда можно вернуться к исходному равенству. Понятие помогает понять, почему после некоторых преобразований нужна проверка.
Равносильные системы — системы с одним и тем же множеством решений. Каждая равносильная система является следствием другой, поэтому здесь выполняются оба перехода: A ⇒ B и B ⇒ A. При таком преобразовании ответ не меняется.
Постороннее решение — решение преобразованной системы, которое не удовлетворяет исходной. Оно появляется, если переход сохраняет старые решения, но допускает новые, например при возведении в квадрат. Проверка в исходной системе удаляет такие значения.
Переход к системе-следствию нужен, чтобы упростить поиск неизвестных. При этом исходные решения никуда не исчезают: если пара подходит исходной системе, она обязательно подходит и преобразованной. Однако преобразованная система может описывать более широкий набор пар, поэтому найденный ответ рассматривают как множество возможных решений до проверки.
Направление следования определяют по смыслу операции. Если из выполнения системы A неизбежно получается выполнение системы B, то B — следствие A, то есть A ⇒ B. Обратное утверждение нужно доказывать отдельно: из того, что пара подходит B, ещё не следует её пригодность для A.
Возведение уравнения в квадрат даёт следствие, потому что из равенства A = B следует A² = B². Но обратная связь нарушается: равенство квадратов возможно также при A = −B. Поэтому операция стирает информацию о знаках и способна добавить решения, особенно если обе части исходного уравнения могли иметь разные знаки.
При сложении уравнений системы переход к следствию обоснован свойствами равенств. Если общая пара (x; y) обращает левую и правую части двух исходных уравнений в равные числа, то суммы этих частей также равны. Значит, любое решение исходной системы удовлетворяет сумме уравнений; чтобы восстановить точный ответ, обычно сохраняют ещё одно исходное уравнение.
Проверка в исходной системе нужна потому, что решение следствия — только кандидат. Подстановка показывает, удовлетворяет ли найденная пара каждому первоначальному условию, включая знаковые ограничения и допустимые значения. Если пара не проходит проверку, её называют посторонней и исключают из ответа.
| Преобразование | Что гарантируется | Что может измениться | Что делать при завершении |
|---|---|---|---|
| Возведение обеих частей уравнения в чётную степень | Все исходные решения сохраняются | Могут добавиться решения из-за потери знака | Проверить корни в исходной системе |
| Умножение уравнения на выражение | Решения сохраняются, если множитель не равен нулю | Нулевой множитель может добавить решения | Рассмотреть нули множителя и выполнить проверку |
| Сложение уравнений системы | Каждое общее решение удовлетворяет сумме | Одно сложенное уравнение содержит меньше информации о системе | Использовать сумму вместе с исходным уравнением |
| Проверка решений в исходной системе | Отбираются только настоящие решения | Посторонние пары исключаются | Записать множество прошедших проверку пар |
Сначала определите, какое преобразование выполнено и какие решения оно гарантированно сохраняет. Затем найдите все решения полученной системы и подставьте их в исходную. Особенно обязательна проверка после операций, которые могут потерять знак или использовать множитель, равный нулю.
Решим систему x + y = 3, x − y = 1. Сложим уравнения, чтобы исключить y, а затем используем одно из исходных равенств для нахождения второй переменной.
Ответ: (2; 1).
Решим систему x² = 4, x + y = 1. Первое уравнение можно записать как x² − 4 = 0 и разложить разность квадратов, получив возможные значения x.
Ответ: (2; −1), (−2; 3).
Решим систему √(x + 1) = x − 1, x + y = 4. Правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной, поэтому сразу учитываем условие x − 1 ≥ 0.
Ответ: (3; 1).
Систему-следствие часто принимают за равносильную. Ошибка возникает из-за смешения направлений: сохранение старых решений ещё не означает отсутствия новых. Проверьте, можно ли из преобразованной системы вернуться к исходной без дополнительных условий.
Не проверять найденные пары в исходной системе — значит оставить возможные посторонние решения. Так поступают, когда считают любое решение упрощённой системы окончательным. Подставьте каждую пару в первоначальные уравнения и исключите не подошедшие.
При возведении в квадрат забывают о знаках и области допустимых значений. Квадраты одинаковы у противоположных чисел, поэтому операция может расширить ответ. Перед квадратированием выпишите ограничения, а после него выполните прямую проверку.
При умножении уравнения на выражение с переменной иногда не рассматривают его нулевые значения. В этих точках новое равенство может выполняться автоматически и добавить лишние пары. Найдите нули множителя и сравните кандидатов с исходной системой.
До изучения темы нужны понятия решения уравнения и системы, а также равносильных преобразований. Они позволяют отличать сохранение решений от полного совпадения множеств.
Система-следствие особенно полезна при решении нелинейных систем: при возведении в степень, разложении на множители и исключении переменной. Эти приёмы упрощают вычисления, но требуют контроля полученных кандидатов.
Понимание следствия связано с проверкой корней в уравнениях и неравенствах. Оно помогает объяснить, почему формально найденное значение иногда не входит в окончательный ответ.
Чем система-следствие отличается от равносильной системы?
У системы-следствия сохраняются все решения исходной, но могут появиться дополнительные. Равносильные системы имеют одно и то же множество решений, поэтому каждая из них является следствием другой.
Почему при переходе к системе-следствию могут появиться лишние решения?
При преобразовании иногда теряется часть информации об исходных уравнениях. Например, после возведения в квадрат исчезает различие между положительным и отрицательным значениями.
Нужно ли проверять ответ, если при преобразовании только складывали уравнения?
Если сложение использовалось вместе с одним из исходных уравнений без других рискованных преобразований, найденные пары обычно уже удовлетворяют системе. Но проверка в исходных уравнениях остаётся надёжным способом убедиться в ответе.
Почему после возведения уравнения в квадрат надо проверять корни?
Равенство A² = B² допускает случаи A = B и A = −B. Поэтому квадратное уравнение может иметь решения, которые не подходят исходному равенству.
Всегда ли можно умножать уравнение системы на выражение с переменной?
Нет. Если множитель может быть равен нулю, преобразование способно добавить или потерять решения. Нужно отдельно рассмотреть случай нулевого множителя или выполнить проверку в исходной системе.
14.2. Система-следствие
