"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Производная суммы и разности позволяет находить скорость изменения сложной функции по её отдельным частям. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке, то производная их суммы равна сумме производных, а производная разности — разности производных. Эти правила упрощают вычисления, помогают почленно дифференцировать многочлены и выражения с несколькими слагаемыми. Главное — правильно сохранить знаки и учесть область дифференцируемости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x). Иными словами, каждую часть суммы можно исследовать отдельно, а затем сложить результаты. Это правило нужно, чтобы быстро находить производные сложных выражений, не возвращаясь каждый раз к определению производной.
Производная разности двух дифференцируемых функций равна разности их производных: (f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x). Знак минус между функциями при дифференцировании сохраняется. Правило особенно полезно для многочленов и выражений, в которых одни функции вычитаются из других.
Дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует её производная. Правила суммы и разности применяются там, где обе входящие функции дифференцируемы. Если производная хотя бы одной функции не существует, формула не даёт права считать производную всей суммы или разности существующей.
Рассмотрим сумму F(x) = f(x) + g(x) и увеличим аргумент на Δx. Её приращение равно F(x + Δx) − F(x), то есть [f(x + Δx) − f(x)] + [g(x + Δx) − g(x)]. Поэтому приращение суммы складывается из приращений слагаемых. Деление на Δx даёт сумму соответствующих отношений приращений, а переход к пределу приводит к формуле F′(x) = f′(x) + g′(x).
Для разности F(x) = f(x) − g(x) вычислим приращение: F(x + Δx) − F(x) = [f(x + Δx) − f(x)] − [g(x + Δx) − g(x)]. Здесь второе приращение вычитается, потому что исходная функция содержит вычитание. После деления на Δx и перехода к пределу получаем F′(x) = f′(x) − g′(x).
Именно строение приращения объясняет, почему функции можно дифференцировать по отдельности. Приращение каждой части влияет на общее приращение независимо от других частей, а сложение или вычитание сохраняется на каждом шаге вычисления. Поэтому знак между функциями не исчезает и не превращается в другой знак сам по себе.
Запись (f(x) ± g(x))′ = f′(x) ± g′(x) объединяет оба правила. Знак слева переносится между производными справа без изменения. Формула верна в общей области дифференцируемости, то есть в тех точках, где одновременно существуют f′(x) и g′(x).
Правило можно применять к трём и более слагаемым. Например, выражение f₁(x) − f₂(x) + f₃(x) дифференцируют почленно: f₁′(x) − f₂′(x) + f₃′(x). Сначала полезно выделить отдельные слагаемые и их знаки, а затем использовать известные формулы для степенных, тригонометрических и других функций.
| Выражение | Правило | Условие применения |
|---|---|---|
| f(x) + g(x) | (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x) | Обе функции дифференцируемы в рассматриваемой точке |
| f(x) − g(x) | (f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x) | Обе функции дифференцируемы в рассматриваемой точке |
| f₁(x) ± f₂(x) ± … ± fₙ(x) | Дифференцировать каждое слагаемое, сохраняя знаки | Каждая функция дифференцируема в рассматриваемой точке |
Сначала определите, какие функции входят в выражение и какие знаки стоят между ними. Затем найдите производную каждого слагаемого по известным формулам. В конце проверьте, что исходные знаки сохранены, а производные постоянных заменены нулём.
Условие: найти производную функции y = x³ + sin x. Здесь функция представлена как сумма степенной и тригонометрической функций. Обе они дифференцируемы при всех действительных x.
Ответ: y′ = 3x² + cos x.
Условие: найти производную функции y = x⁴ − 3x² + 5x − 7. Многочлен состоит из четырёх слагаемых, поэтому производную ищем у каждого из них отдельно. Коэффициенты остаются множителями, а постоянное слагаемое исчезает.
Ответ: y′ = 4x³ − 6x + 5.
Условие: найти производную функции y = (x² + cos x) − (3x − sin x), а затем вычислить её значение при x = 0. Минус перед второй скобкой относится к каждому её слагаемому. Сначала можно раскрыть скобки, чтобы знаки стали очевидными.
Ответ: y′ = 2x − sin x − 3 + cos x; y′(0) = −2.
Меняют знак при дифференцировании разности. Иногда минус ошибочно превращают в плюс, хотя производная разности равна разности производных. Проверьте себя: перепишите формулу целиком и сравните знак между исходными функциями и их производными.
Теряют минус перед скобками. При раскрытии скобок знак минус меняет знаки всех слагаемых внутри вычитаемой части. Для проверки мысленно умножьте каждый член второй скобки на −1.
Считают производную суммы произведением производных. Формула f′(x) + g′(x) относится к сумме, а произведение требует другого правила. Посмотрите на знак между функциями: «+» означает сумму, а не умножение.
Не дифференцируют отдельные слагаемые или оставляют производную постоянной ненулевой. При почленном дифференцировании нужно обработать каждый член, включая свободный. Быстрая проверка: производная любого числа без x должна быть равна 0.
Для применения правил нужны определение производной и формулы производных основных элементарных функций, например степенной и тригонометрических. Правила суммы и разности становятся основой почленного дифференцирования многочленов и более сложных выражений. Найденные производные затем используют при исследовании функций, поиске промежутков монотонности и построении графиков.
Почему производную суммы можно найти, дифференцируя слагаемые отдельно?
Приращение суммы равно сумме приращений слагаемых. После деления на приращение аргумента и перехода к пределу получается сумма производных.
Нужно ли менять знак минус при нахождении производной разности?
Нет, знак минус между функциями сохраняется: (f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x). Менять знаки нужно только при раскрытии скобок, если перед ними стоит минус.
Можно ли применять правило к сумме из трёх и более функций?
Да. Производную находят у каждого слагаемого отдельно, сохраняя знаки между ними: (f₁ ± f₂ ± … ± fₙ)′ = f₁′ ± f₂′ ± … ± fₙ′.
Что делать с постоянным слагаемым при дифференцировании?
Производная постоянной равна нулю, поэтому постоянное слагаемое можно заменить на 0. Например, (x² − 7)′ = 2x.
В каких точках можно применять правило производной суммы или разности?
Правило применимо в тех точках, где обе функции имеют производные. Если хотя бы одна функция в точке недифференцируема, пользоваться формулой как правилом для этой точки нельзя.
4.2. Производная суммы. Производная разности
