4.3. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал

Определения и обозначения

Функция непрерывна в точке x₀, если предел её значений при x, стремящемся к x₀, равен значению функции в этой точке: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Иными словами, небольшое изменение аргумента вызывает небольшое изменение значения функции. Это определение помогает проверять, нет ли в графике разрыва.

Функция дифференцируема в точке, если её приращение можно представить как Δy = f′(x₀)Δx + o(Δx). Здесь Δx — приращение аргумента, а o(Δx) — остаточный член, который становится пренебрежимо малым по сравнению с Δx. Такое представление отделяет главную, линейную часть изменения от более мелкой поправки.

Дифференциал функции — линейная часть приращения, вычисленная по формуле dy = f′(x)dx. Он показывает, как менялось бы значение функции согласно касательной в рассматриваемой точке. Дифференциал удобен для оценки изменений и приближённых вычислений.

Дифференциал аргумента обозначают dx и принимают равным его приращению: dx = Δx. Поэтому формула дифференциала функции связывает производную в точке с выбранным изменением аргумента. Такое обозначение позволяет коротко записывать линейное приближение приращения функции.

Как это устроено

Запись Δy = f′(x)Δx + o(Δx) следует из определения производной. Приращение можно представить как произведение отношения Δy/Δx на Δx, а это отношение при малом изменении аргумента близко к f′(x). Остаток o(Δx) учитывает отличие точного отношения от предельного; его отношение к Δx стремится к нулю.

Из этой записи видно, почему дифференцируемость влечёт непрерывность. Когда Δx стремится к нулю, произведение f′(x)Δx тоже стремится к нулю, поскольку производная в фиксированной точке — конечное число. Остаток также стремится к нулю, поэтому Δy→0, то есть f(x + Δx)→f(x). Это и есть непрерывность в точке.

Обратное рассуждение невозможно: стремление Δy к нулю не гарантирует, что отношение Δy/Δx имеет предел. Например, у графика f(x)=|x| в нуле нет разрыва, но слева наклон равен −1, а справа 1. Излом не позволяет получить одну общую производную, хотя сама функция непрерывна.

Чтобы получить формулу дифференциала, в разложении приращения оставляют его линейную часть f′(x)Δx. Поскольку dx = Δx, эта часть записывается как dy = f′(x)dx. При малом Δx остаток мал относительно Δx, поэтому dy обычно хорошо приближает Δy, но не заменяет точное приращение.

Геометрически f′(x) — наклон касательной к графику в точке с абсциссой x. Если по касательной перейти от x к x + dx, её ордината изменится на f′(x)dx, то есть на dy. У самого графика ордината изменится на Δy; при малом шаге график близок к касательной, поэтому эти изменения близки. На графике y = x² в точке x = 1 касательная имеет уравнение y = 2x − 1, и её приращение ординаты равно 2dx.

Приращение функции и её дифференциал

Сначала определите, нужно ли точное изменение функции или его линейная оценка: для первого находят Δy, для второго — dy. В формуле дифференциала подставляют производную в исходной точке и приращение аргумента. Сравнение показывает, почему при малом шаге дифференциал полезен, но не всегда совпадает с точным приращением.

Разбор задач

Задача 1. Показать, что f(x)=x² непрерывна в точке x₀, используя существование производной. Сначала проверим производную: она существует для всех действительных x. Затем применим теорему о связи дифференцируемости и непрерывности.

1. Находим производную: f′(x)=2x. Она существует при любом x, значит, в частности, существует при x₀.
2. По теореме дифференцируемость в точке влечёт непрерывность в этой точке.
3. Следовательно, f(x)=x² непрерывна при выбранном x₀; дополнительных вычислений предела не требуется.

Ответ: функция непрерывна в любой точке x₀, поскольку имеет там производную.

Задача 2. Для f(x)=x³ найти дифференциал при x=2 и dx=0,1, а затем оценить приращение. Дифференциал даст линейную оценку, поэтому сначала вычислим наклон графика в исходной точке.

1. Находим производную: f′(x)=3x².
2. Подставляем x=2 и dx=0,1: dy=f′(2)dx=3·2²·0,1=1,2.
3. Значит, приращение функции приближённо равно 1,2. Для проверки точное приращение равно 2,1³−2³=9,261−8=1,261.

Ответ: dy=1,2, поэтому Δy≈1,2; точное приращение равно 1,261.

Задача 3. Исследовать непрерывность и дифференцируемость f(x)=|x| в точке x=0. В нуле функция принимает значение 0, а справа и слева её формулы имеют разные наклоны. Поэтому отдельно проверим предел и односторонние производные.

1. При x→0 значения |x| стремятся к 0=f(0), значит, функция непрерывна в нуле.
2. Приращение аргумента h даёт отношение [f(h)−f(0)]/h=|h|/h.
3. При h>0 это отношение равно 1, а при h<0 равно −1. Односторонние пределы различны, поэтому производной в нуле нет.

Ответ: функция непрерывна, но не дифференцируема при x=0.

Типичные ошибки

• Ошибочно считать, что непрерывность гарантирует производную. Это путают с верным утверждением в обратную сторону: производная влечёт непрерывность. Проверяйте односторонние производные; у |x| в нуле они не совпадают.

• Дифференциал принимают за точное приращение. Причина — оба обозначают изменение функции, однако Δy включает и остаточный член, а dy содержит лишь линейную часть. Для проверки сравните значения f(x+Δx)−f(x) и f′(x)Δx.

• В формуле пишут dy=f′(x), забывая множитель dx. Так теряется величина изменения аргумента, от которой зависит изменение функции. Убедитесь, что в записи есть и производная, и dx: dy=f′(x)dx.

• Считают o(Δx) постоянным или обязательно нулевым. На деле это остаточный член, который может быть ненулевым, но его отношение к Δx стремится к нулю. Проверка: должно выполняться o(Δx)/Δx→0 при Δx→0.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны предел функции, непрерывность, производная и правила её вычисления: они позволяют проверить условия и получить коэффициент f′(x). Дифференциал продолжает изучение производной, переводя информацию о наклоне графика в оценку небольшого изменения значения функции. Поэтому его применяют в приближённых вычислениях и оценке малых изменений. Связь дифференцируемости с непрерывностью пригодится при дальнейшем исследовании свойств функций и их графиков.

Что запомнить

• Дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке.
• Непрерывность функции не всегда влечёт её дифференцируемость.
• Приращение функции имеет вид Δy = f′(x)Δx + o(Δx).
• Дифференциал функции равен dy = f′(x)dx.
• Дифференциал — линейная часть приращения функции.
• При малом изменении аргумента дифференциал приближает приращение функции.