"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Производные произведения и частного помогают находить скорость изменения функций, составленных из нескольких выражений. Для произведения складывают два результата: производную первого множителя умножают на второй, а первый — на производную второго. Для частного из произведения производной числителя на знаменатель вычитают произведение числителя на производную знаменателя, а результат делят на квадрат знаменателя. Главное — не перепутать порядок вычитания и проверить, что знаменатель не равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная произведения — правило нахождения производной функции вида u(x)v(x): складывают произведения производной каждого множителя на другой множитель. Формула записывается так: (uv)′ = u′v + uv′. Она нужна, когда выражение состоит из двух функций, которые обе зависят от x.
Производная частного — правило для функции u(x)/v(x): в числителе берут разность u′v − uv′, а в знаменателе — квадрат v. Иными словами, сначала вычисляют два произведения и вычитают второе из первого. Это позволяет находить производную дробной функции без предварительного преобразования самой дроби.
Дифференцируемые функции — функции, для которых существуют производные в рассматриваемых точках. Именно это условие позволяет применять правила произведения и частного к составляющим функциям. Если производные множителей уже известны, их можно подставить в формулу и получить производную более сложного выражения.
Ненулевой знаменатель — условие, при котором функция v(x) не равна нулю в рассматриваемой точке. Оно требуется для правила частного, потому что исходное выражение u(x)/v(x) иначе не определено. Поэтому перед вычислением производной дроби находят значения x, при которых её знаменатель обращается в ноль.
Пусть аргумент x увеличили на малую величину Δx, а функции u и v при этом изменились на Δu и Δv. Новое произведение равно (u + Δu)(v + Δv), поэтому его приращение составляет uΔv + vΔu + ΔuΔv. Первые два слагаемых показывают, как изменение каждого множителя влияет на произведение, пока другой множитель остаётся прежним. После деления приращения на Δx и перехода к пределу они дают uv′ и vu′, то есть (uv)′ = u′v + uv′.
Нельзя просто перемножить производные, потому что при раскрытии скобок появляется не только произведение изменений, но и два слагаемых первого порядка. Член Δu·Δv не превращается в отдельный член производной: после деления на Δx он стремится к нулю. Действительно, при дифференцируемых u и v оба изменения имеют порядок, соответствующий Δx, поэтому их произведение становится ещё меньше. А слагаемые uΔv и vΔu после деления дают вклад каждого множителя отдельно.
Чтобы вывести правило частного, представим дробь как u · 1/v. Производная обратной функции 1/v равна −v′/v², поэтому по правилу произведения получаем u′/v − uv′/v². Приведя слагаемые к общему знаменателю v², получаем (u′v − uv′)/v². Минус появляется из производной обратной функции, а квадрат знаменателя — из знаменателя производной 1/v.
Если в выражении три множителя, каждый из них по очереди дифференцируют, оставляя два остальных без изменения: (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′. Для дроби сначала определяют, что играет роль числителя u, а что — знаменателя v. Если числитель сам является произведением, его производную находят отдельно по правилу произведения, а потом используют в формуле частного. Такой порядок помогает не пропустить множитель и не смешать правила.
Правила произведения и частного не заменяют уже изученные правила, а работают вместе с ними. Производную каждого отдельного множителя находят по известным формулам: например, степенной или тригонометрической функции. Затем найденные производные подставляют на нужные места, сохраняя сами функции там, где формула требует множитель без штриха. В конце результат можно упростить, но сначала полезно записать его в соответствии с правилом.
| Функция | Производная | Условие |
|---|---|---|
| Произведение u(x)v(x) | u′v + uv′ | u и v дифференцируемы |
| Частное u(x)/v(x) | (u′v − uv′)/v² | u и v дифференцируемы, v ≠ 0 |
| Произведение трёх функций u(x)v(x)w(x) | u′vw + uv′w + uvw′ | u, v и w дифференцируемы |
Сначала определи, какой тип выражения дан: произведение или частное, а затем выбери соответствующую строку. Проверь условие о существовании производных, а для дроби отдельно исключи точки, где знаменатель равен нулю. В формулах множители без штриха — это исходные функции, а со штрихом — их производные.
Найти производную функции y = (x² + 1)(3x − 2). Здесь перемножаются два выражения, поэтому простое умножение их производных не подходит. Обозначим первый множитель через u = x² + 1, второй — через v = 3x − 2. По правилу произведения нужно найти u′v + uv′.
В первом слагаемом производная относится к первому множителю, а второй остаётся без изменения; во втором слагаемом — наоборот. Ответ: y′ = 9x² − 4x + 3.
Найти производную y = (x² − 3x)/(x + 1) и указать область, на которой применима формула. Это частное, где u = x² − 3x, а v = x + 1. Знаменатель равен нулю при x = −1, поэтому функция и формула частного применимы только при x ≠ −1.
Знаменатель формулы — квадрат исходного знаменателя, а не его производная. Ответ: y′ = (x² + 2x − 3)/(x + 1)² при x ≠ −1.
Найти производную y = (sin x)(x² + 1)/(x − 2). Вся дробь рассматривается как частное: u = (sin x)(x² + 1), v = x − 2. Чтобы применить правило частного, сначала найдём производную числителя как произведения; при этом условие x ≠ 2 необходимо, поскольку знаменатель исходной функции не должен обращаться в ноль.
Здесь сначала применено правило произведения внутри числителя, затем правило частного ко всей дроби. Ответ: приведённая формула при x ≠ 2; раскрывать скобки для её применения не требуется.
Ошибка: записать (uv)′ = u′v′. Так делают, когда механически дифференцируют оба множителя, но при изменении произведения меняется каждый из них, поэтому нужны два слагаемых. Проверь формулу на простом примере: для x·x она должна дать 1·x + x·1 = 2x, а не 1·1.
Ошибка: переставить слагаемые в числителе формулы частного или забыть квадрат знаменателя. Обычно это происходит, если формулу вспоминают приблизительно, не сохраняя её порядок. Проверяй запись по схеме u′v − uv′ и убеждайся, что внизу стоит v², то есть квадрат исходного знаменателя.
Ошибка: считать, что условием для формулы частного является v′ ≠ 0. Производная знаменателя может быть нулевой, это само по себе не мешает вычислению; важно, чтобы сам знаменатель был ненулевым. Для проверки найди, где v(x) = 0, и исключи эти значения из области применения формулы.
Ошибка: пропустить один из множителей или подставить вместо функции её производную. При использовании правила произведения в каждом слагаемом есть одна производная и один множитель без штриха. После подстановки сравни запись с u′v + uv′: в ней должны присутствовать оба слагаемых и все исходные множители.
Для работы с правилами произведения и частного нужны определение производной, правила для суммы и умножения на постоянное число, а также производные основных функций. Эти знания помогают находить производные отдельных множителей до подстановки в новую формулу. Освоенные правила применяются к рациональным, тригонометрическим и комбинированным функциям. Их используют дальше при исследовании функций и решении задач на касательную.
Почему производная произведения не равна произведению производных?
При изменении аргумента меняются оба множителя, поэтому в приращении произведения возникают два слагаемых первого порядка. После деления на приращение аргумента они дают u′v и uv′, а произведение приращений стремится к нулю.
Как не перепутать порядок слагаемых в формуле производной частного?
Запомни порядок: производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя. То есть u′v − uv′; можно проговаривать формулу именно в таком порядке.
Почему в знаменателе формулы частного стоит квадрат?
При представлении u/v как u · 1/v производная обратной функции равна −v′/v². Поэтому после применения правила произведения в формуле частного появляется v².
Нужно ли проверять, где знаменатель равен нулю?
Да. Исходная функция u/v не определена при v = 0, поэтому правило частного применяют только там, где знаменатель отличен от нуля.
Как найти производную выражения, в котором одновременно есть произведение и частное?
Сначала удобно увидеть всю дробь как частное и отдельно найти производную числителя. Если числитель является произведением, к нему применяют правило произведения, а затем подставляют результат в правило частного.
4.4. Производная произведения. Производная частного
