4.5. Производные элементарных функций

Определения и обозначения

Производная степенной функции — правило дифференцирования y = xⁿ: y′ = n·xⁿ⁻¹, где n — постоянный показатель степени. Например, у x⁵ производная равна 5x⁴. Это обобщает знакомое правило для натуральных степеней и позволяет работать также с корнями и дробными степенями там, где исходная функция определена и имеет производную.

Производная тригонометрической функции задаётся формулами (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos² x и (ctg x)′ = −1/sin² x. Аргумент x здесь измеряется в радианах, а тангенс и котангенс рассматриваются только там, где они определены. Эти правила позволяют находить скорость изменения периодических функций.

Производная показательной функции y = aˣ равна aˣ·ln a при a > 0. Для частного случая y = eˣ производная совпадает с самой функцией: (eˣ)′ = eˣ. Это правило нужно, чтобы дифференцировать выражения, в которых переменная стоит в показателе степени.

Производная логарифмической функции y = logₐ x равна 1/(x·ln a), если x > 0, a > 0 и a ≠ 1. Для натурального логарифма получается (ln x)′ = 1/x при x > 0. Эти формулы дают возможность исследовать изменение логарифмов и применять их при дифференцировании выражений.

Как это устроено

Для натурального n правило производной xⁿ получается последовательным применением правил дифференцирования произведения. Например, x³ = x·x·x, и его производная равна 3x²; для xⁿ таким образом возникает множитель n и степень уменьшается на единицу. Формула сохраняет смысл и при дробных показателях: x¹ᐟ² = √x, поэтому производная корня равна ½x⁻¹ᐟ² = 1/(2√x) при x > 0. Перед применением правила с дробной степенью проверьте область определения исходной функции и точку, в которой ищете производную.

Синус и косинус изменяются согласованно: когда синус растёт, косинус задаёт скорость этого роста, а при убывании синуса значение косинуса отрицательно. Поэтому производная sin x равна cos x. Для косинуса направление изменения противоположно значению синуса, откуда появляется минус: (cos x)′ = −sin x. Эти соотношения верны именно для радианной меры угла: при измерении в градусах скорость изменения дополнительно масштабируется.

Тангенс можно записать как sin x/cos x, а котангенс — как cos x/sin x. Применив правило производной частного и равенство sin² x + cos² x = 1, получаем (tg x)′ = 1/cos² x и (ctg x)′ = −1/sin² x. Условия cos x ≠ 0 и sin x ≠ 0 нужны не только для формул производных: в этих точках сами тангенс и котангенс не определены. Поэтому сначала проверяют допустимость аргумента, а затем дифференцируют.

Производная aˣ содержит множитель ln a, потому что скорость роста зависит от выбранного основания. Если основание больше единицы, функция растёт, а если 0 < a < 1 — убывает; знак ln a отражает эту разницу. Число e выбрано так, что ln e = 1, и множитель в формуле исчезает: (eˣ)′ = eˣ. Поэтому экспонента с основанием e особенно удобна в задачах о непрерывном росте и изменении величин.

Логарифм logₐ x можно представить как ln x/ln a, где ln a — постоянное число, не равное нулю при a > 0 и a ≠ 1. При дифференцировании получается 1/(x·ln a), а для натурального логарифма ln a = 1, поэтому (ln x)′ = 1/x. Условие x > 0 связано с областью определения действительного логарифма: логарифм нуля и отрицательного числа в действительных числах не определён. Значит, прежде чем искать производную, нужно убедиться, что аргумент положителен.

Как это устроено

Производные элементарных функций

Найдите в таблице нужную функцию и сначала проверьте условия в среднем столбце. Затем подставьте выражение в формулу производной, не забывая о знаке и дополнительных множителях. Если функция состоит из нескольких слагаемых, дифференцируйте каждое отдельно и сложите результаты.

Разбор задач

Задача 1. Найти производную функции y = x⁷ − 3x² + 5. Здесь выражение является суммой степенных функций и постоянной, поэтому применяем правила к каждому слагаемому отдельно. Производная постоянной равна нулю, а постоянный множитель −3 сохраняется.

1. Для x⁷ получаем 7x⁶ по правилу (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹.

2. Для −3x² получаем −3·2x = −6x.

3. Производная числа 5 равна 0, поэтому складываем найденные результаты.

Ответ: y′ = 7x⁶ − 6x.

Задача 2. Найти производную y = 2ˣ + ln x − cos x и указать область определения. Логарифм требует x > 0, тогда как показательная функция и косинус определены при любом действительном x. Значит, всё выражение и его производная рассматриваются при x > 0.

1. Производная 2ˣ равна 2ˣ·ln 2: основание не e, поэтому множитель ln 2 сохраняется.

2. Производная ln x равна 1/x при x > 0.

3. Производная −cos x равна −(−sin x) = sin x. Складываем производные слагаемых.

Ответ: y′ = 2ˣ·ln 2 + 1/x + sin x, область определения функции: x > 0.

Задача 3. Найти производную y = x³ + tg x + log₃ x и вычислить её значение при x = 1. Для логарифма нужно x > 0, а тангенс не определён при cos x = 0. В точке 1 эти условия выполнены, поэтому можно найти производную и подставить значение аргумента.

1. Производная x³ равна 3x².

2. Производная tg x равна 1/cos² x там, где cos x ≠ 0.

3. Для log₃ x производная равна 1/(x·ln 3). Складываем три результата: y′ = 3x² + 1/cos² x + 1/(x·ln 3).

4. Подставляем x = 1: y′(1) = 3 + 1/cos² 1 + 1/ln 3.

Ответ: y′ = 3x² + 1/cos² x + 1/(x·ln 3); y′(1) = 3 + 1/cos² 1 + 1/ln 3.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать (cos x)′ = sin x, забывая минус. Косинус меняется в направлении, противоположном синусу, поэтому в формуле стоит −sin x. Проверяйте себя значением x = 0: производная косинуса там равна 0, а рядом с нулём косинус убывает при движении вправо.

Ошибка: считать, что (aˣ)′ = aˣ для любого основания. Множитель ln a теряют, перенося формулу для eˣ на все показательные функции; она верна без множителя только при a = e. Для проверки подставьте основание в формулу: при a = 2 производная содержит 2ˣ·ln 2.

Ошибка: путать производные logₐ x и ln x. Для логарифма по основанию a забывают деление на ln a, хотя основание влияет на скорость изменения функции. Чтобы проверить запись, вспомните logₐ x = ln x/ln a: при дифференцировании постоянный множитель 1/ln a остаётся.

Ошибка: применять формулы tg x и ctg x в точках, где сами функции не определены, или считать углы в градусах. Так теряются условия cos x ≠ 0 и sin x ≠ 0, а для тригонометрических производных нарушается радианная мера. Перед вычислениями проверяйте область определения и единицы измерения аргумента.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужны определение производной, правила дифференцирования суммы и постоянного множителя, а также правило для целых степеней. Готовые производные элементарных функций применяют при исследовании графиков: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, экстремумы и касательные. Эти формулы также становятся основой для дифференцирования сложных функций и решения прикладных задач, где скорость изменения величины описывает реальный процесс.

Что запомнить

• Производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹.

• Производные sin x и cos x равны cos x и −sin x соответственно.

• Производная tg x равна 1/cos² x, а производная ctg x — −1/sin² x.

• Производная eˣ равна eˣ.

• Производная aˣ равна aˣ·ln a.

• Производная ln x равна 1/x; производная logₐ x равна 1/(x·ln a).