"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сложная функция получается, когда в одну функцию подставляют другую: например, синус от квадрата переменной. Чтобы найти её производную, используют правило цепочки: сначала дифференцируют внешнюю функцию, сохраняя её аргумент, а затем умножают на производную внутренней. Это правило позволяет работать с вложенными степенями, логарифмами, тригонометрическими и показательными выражениями, а также исследовать поведение функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложная функция — функция вида y = f(g(x)), полученная подстановкой выражения g(x) вместо аргумента другой функции f. Например, sin(x²) — сложная функция: значение квадрата подставлено в синус. Такое представление помогает увидеть, какие действия выполняются последовательно.
Внутренняя функция — выражение g(x), которое служит аргументом внешней функции. В записи sin(x² + 1) внутренней является x² + 1. Её выделяют, чтобы отдельно учесть, как меняется аргумент функции при изменении x.
Внешняя функция — функция f, применённая к значению внутренней функции: y = f(g(x)). В примере sin(x² + 1) внешняя функция — синус. Это обозначение показывает, какую операцию нужно дифференцировать первой.
Производная сложной функции — производная композиции функций, вычисляемая по правилу (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Иными словами, производную внешней функции умножают на производную внутренней. Формула нужна, когда аргументом функции является не просто x, а целое выражение.
Чтобы распознать сложную функцию, найди операцию, выполняемую последней, и выясни, что подставлено в неё вместо аргумента. В sin(x² + 1) последней выполняется операция синуса, а его аргумент — x² + 1. Значит, синус здесь внешний, а квадратный трёхчлен — внутренний. Такое разложение превращает сложную запись в понятную последовательность действий.
При небольшом изменении x значение g(x) меняется примерно в g′(x) раз сильнее или слабее. Затем изменение g(x) передаётся внешней функции, и её отклик определяется величиной f′(g(x)). Поэтому общий коэффициент изменения получается произведением f′(g(x)) и g′(x). Это та же идея, что при последовательном изменении величин: влияние каждого этапа учитывается отдельно.
Правило цепочки устроено так: сначала дифференцируют внешнюю функцию, оставляя её аргумент без изменений, а затем умножают результат на производную внутренней. Например, для sin(g(x)) производная внешнего синуса равна cos(g(x)), после чего результат умножают на g′(x). Производная внутренней показывает, насколько быстро меняется аргумент синуса. Если её забыть, получится лишь часть ответа.
Аргумент внешней функции — это g(x), а не x, потому что именно выражение g(x) подставлено в неё. Поэтому при дифференцировании f(g(x)) сначала получается f′(g(x)), а не f′(x). Замена на x изменила бы саму функцию и дала бы неверное значение производной. Сохранение внутреннего выражения позволяет точно учесть точку, в которой действует внешняя функция.
Если функций вложено несколько, например одна находится внутри степени, а та — внутри логарифма, правило применяют на каждом уровне. Производную внешнего уровня умножают на производную следующего, затем на производную самого внутреннего выражения. Так учитывается весь путь от изменения x до изменения итогового значения y. Пропуск любого уровня означает, что часть этой зависимости не вошла в ответ.
| Функция y | Внешняя функция | Внутренняя функция | Производная y′ |
|---|---|---|---|
| y = f(g(x)) | f | g(x) | f′(g(x)) · g′(x) |
| y = (g(x))ⁿ | степень n | g(x) | n(g(x))ⁿ⁻¹ · g′(x) |
| y = sin(g(x)) | синус | g(x) | cos(g(x)) · g′(x) |
| y = cos(g(x)) | косинус | g(x) | −sin(g(x)) · g′(x) |
| y = e^(g(x)) | показательная функция eˣ | g(x) | e^(g(x)) · g′(x) |
| y = ln(g(x)) | натуральный логарифм | g(x) | g′(x)/g(x) |
Сначала найди строку, соответствующую внешней функции, затем подставь вместо g(x) внутреннее выражение. После этого обязательно вычисли g′(x) и умножь на неё результат. Для логарифма также учитывай область определения: g(x) должно быть положительным.
Задача 1. Найти производную функции y = (3x − 2)⁵. Внешняя функция здесь возводит выражение в пятую степень, а внутренняя — 3x − 2. Степенное правило даёт множитель 5, но изменение скобок тоже нужно учесть.
Ответ: y′ = 15(3x − 2)⁴.
Задача 2. Найти производную функции y = sin(x² + 1). Снаружи стоит синус, а его аргументом является квадратный трёхчлен. Поэтому производная косинуса должна сохранить этот аргумент и дополниться производной трёхчлена.
Ответ: y′ = 2x cos(x² + 1).
Задача 3. Найти производную функции y = ln((x² + 1)³). Здесь вложены логарифм, степень и квадратный трёхчлен. Чтобы не потерять множитель, удобно двигаться от внешнего уровня к внутреннему и записывать производную каждого уровня.
Ответ: y′ = 6x/(x² + 1).
Записывают производную внешней функции и забывают умножить на производную внутренней. Это происходит, когда знакомую формулу применяют к внешней части, не прослеживая изменение аргумента. Проверь себя: после производной внешней функции должен появиться множитель g′(x), если внутренняя функция не равна x.
В производной внешней функции заменяют внутренний аргумент на x. Например, вместо cos(g(x)) записывают cos(x), потому что в таблице производных чаще встречается sin x. Но внешний синус действует на g(x), а не на исходную переменную. Сверь аргумент в исходной функции и в производной: он должен остаться тем же.
Иногда внутреннюю функцию дифференцируют первой и подставляют результат вместо аргумента внешней. Так теряется сама функция от g(x): например, для sin(g(x)) нельзя сразу заменить синус на выражение с g′(x). Надёжная проверка — сначала записать f′(g(x)), затем отдельно приписать множитель g′(x).
При нескольких уровнях вложенности учитывают производную только ближайшего внутреннего выражения. Причина обычно в том, что составную запись воспринимают как один блок и останавливаются после первого шага. Разложи функцию на все уровни и проверь, что производная каждого внутреннего уровня присутствует в произведении.
Для применения правила цепочки нужны таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Оно расширяет эти знания: позволяет находить производные степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений со сложным аргументом. Полученные производные используют при исследовании функций, поиске промежутков возрастания и убывания, экстремумов и решении прикладных задач.
Как понять, что функция является сложной?
Проверь, подставлено ли в функцию вместо обычного аргумента целое выражение с переменной. Например, в sin(x² + 1) аргументом синуса служит x² + 1, поэтому функция сложная.
Как определить внешнюю и внутреннюю функции?
Внутренняя функция — выражение, которое непосредственно подставлено в другую функцию. Внешняя функция — та операция, которая действует на это выражение последней: в sin(x² + 1) это синус.
Почему в правиле цепочки нужно умножать на производную внутренней функции?
Изменение x сначала меняет значение внутренней функции, а уже оно меняет значение внешней. Производная внутренней учитывает первый этап изменения, поэтому общий коэффициент изменения получается произведением двух производных.
Нужно ли заменять внутренний аргумент на x при дифференцировании внешней функции?
Нет. Внешняя функция действует на значение g(x), а не на x напрямую, поэтому при дифференцировании её производную записывают при аргументе g(x). Например, для sin(g(x)) получается cos(g(x)) · g′(x).
Как найти производную, если одна функция вложена в другую несколько раз?
Разложи выражение на последовательные уровни вложенности. Дифференцируй каждый уровень по правилу цепочки и перемножь полученные производные, не пропуская производную ни одного внутреннего выражения.
4.6. Производная сложной функции
