"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Производная высшего порядка получается, когда уже найденную производную снова дифференцируют. Так можно находить скорость изменения не только исходной функции, но и самой скорости её изменения. Главное — последовательно применять знакомые правила, не путая порядок производной со степенью выражения. У степенных функций производные в конце становятся нулевыми, а производные синуса и косинуса повторяются по циклу из четырёх шагов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная второго порядка — это производная от первой производной функции: f''(x) = (f'(x))'. Её также обозначают y'', если функция задана как y = f(x). Она показывает, как меняется первая производная, поэтому позволяет исследовать изменение скорости роста функции.
Производная третьего порядка — производная от второй производной: f'''(x) = (f''(x))'. Для функции y её записывают как y'''. Это обозначение нужно, чтобы указывать следующий шаг дифференцирования, не расписывая всю цепочку заново.
Производная n-го порядка — результат последовательного дифференцирования функции n раз; её обозначают f⁽ⁿ⁾(x) или y⁽ⁿ⁾. Здесь n — натуральное число, указывающее количество выполненных шагов. Такая запись удобна, когда нужно рассматривать не только первые несколько производных, но и производную любого заданного порядка.
Производными высших порядков называют производные второго и всех последующих порядков. К ним относятся f'', f''', f⁽⁴⁾ и далее, тогда как f' называют первой производной. Это общее название помогает отличать повторное дифференцирование от нахождения обычной первой производной.
Повторное дифференцирование начинают с первой производной: её рассматривают как новую функцию и находят уже её производную. Причина в том, что первая производная сама зависит от x и потому может изменяться. Например, если f'(x) = 3x², то производная этой функции равна 6x, следовательно, f''(x) = 6x.
Чтобы получить производную следующего порядка, дифференцируют производную предыдущего порядка. Так возникает последовательность f', f'', f''', f⁽⁴⁾ и далее, причём каждый новый член зависит от предыдущего. Это позволяет исследовать изменения функции на нескольких уровнях: сначала изучают, как меняется сама функция, затем — как меняется её производная.
У степенной функции xᵐ при дифференцировании показатель уменьшается на единицу, а коэффициент умножается на прежний показатель: (xᵐ)' = mxᵐ⁻¹. При следующем шаге множителем становится уже m − 1, затем m − 2 и так далее. После m шагов получается постоянная, а её производная равна нулю; поэтому все производные более высокого порядка тоже равны нулю.
Производные sin x и cos x повторяются, потому что производная синуса равна косинусу, а производная косинуса — минус синусу. Следующие шаги дают −cos x и снова sin x, то есть исходное выражение возвращается через четыре дифференцирования. Поэтому для производной высокого порядка достаточно найти остаток от деления номера порядка на четыре и выбрать соответствующую строку цикла.
Правила дифференцирования можно применять к производным каждого порядка так же, как к исходной функции. Например, производная суммы равна сумме производных, если нужные производные существуют. Это работает потому, что на каждом шаге перед нами снова функция, к которой применимы знакомые правила.
| Функция | Первая производная | Вторая производная | Третья производная | Производная n-го порядка |
|---|---|---|---|---|
| xᵐ (m — натуральное число) | mxᵐ⁻¹ | m(m − 1)xᵐ⁻² | m(m − 1)(m − 2)xᵐ⁻³ | m(m − 1)…(m − n + 1)xᵐ⁻ⁿ при n ≤ m; 0 при n > m |
| sin x | cos x | −sin x | −cos x | sin(x + nπ/2) |
| cos x | −sin x | −cos x | sin x | cos(x + nπ/2) |
| eˣ | eˣ | eˣ | eˣ | eˣ |
Чтобы пользоваться таблицей, найдите строку нужной функции и столбец, соответствующий порядку производной. Для xᵐ учитывайте, что формула с произведением множителей действует до порядка m, а дальше результат равен нулю. Для синуса и косинуса при большом n можно определить результат по циклу из четырёх шагов.
В каждой задаче порядок действий определяется обозначением искомой производной. Сначала находят производную предыдущего порядка и только затем переходят к следующему шагу. Такой способ помогает не потерять коэффициенты и знаки.
Найти вторую производную функции f(x) = x⁴ − 3x² + 2.
Сначала дифференцируем каждый член исходной функции отдельно. Получаем f'(x) = 4x³ − 6x, поскольку производная константы 2 равна нулю.
Теперь дифференцируем найденную первую производную: (4x³)' = 12x², а (−6x)' = −6. Значит, f''(x) = 12x² − 6.
Проверяем, что выполнены ровно два дифференцирования и знак второго слагаемого сохранён. Ответ: f''(x) = 12x² − 6.
Найти третью производную функции f(x) = eˣ + cos x.
Дифференцируем слагаемые отдельно: f'(x) = eˣ − sin x. Знак минус появляется потому, что производная cos x равна −sin x.
Находим вторую производную: f''(x) = eˣ − cos x, так как производная −sin x равна −cos x.
Дифференцируем ещё раз: f'''(x) = eˣ + sin x. Производная −cos x равна sin x, а производная eˣ на каждом шаге остаётся eˣ.
Ответ: f'''(x) = eˣ + sin x. Цикл для cos x показывает, что после третьего дифференцирования его вклад равен sin x.
Найти производную 25-го порядка функции f(x) = sin x + x⁶.
Рассматриваем слагаемые отдельно. У x⁶ производная седьмого порядка и все следующие производные равны нулю, поэтому к 25-му порядку остаётся только вклад sin x.
Для синуса используем цикл: первая производная — cos x, вторая — −sin x, третья — −cos x, четвёртая — sin x. Поскольку 25 = 4 · 6 + 1, остаток при делении 25 на 4 равен 1.
Значит, производная 25-го порядка синуса совпадает с его первой производной. Ответ: f⁽²⁵⁾(x) = cos x.
Ошибка: считать f''(x) квадратом первой производной. Её допускают из-за двух штрихов, которые могут напоминать показатель степени. Проверьте смысл записи: f''(x) = (f'(x))', а квадрат записывается как (f'(x))².
Ошибка: пропускать промежуточные производные при вычислении высокого порядка. Тогда легко потерять знак или множитель, особенно в цикле синуса и косинуса. Записывайте цепочку по шагам и сверяйте каждый результат с правилом дифференцирования.
Ошибка: продолжать выписывать ненулевые производные степенной функции после того, как она стала нулевой. Обычно это происходит, когда не замечают, что производная постоянной равна нулю. Найдите степень исходного многочлена: для xᵐ производная порядка m + 1 уже равна нулю.
Ошибка: определять производную sin x или cos x, считая цикл не из четырёх, а из другого числа шагов. Смена знаков в цикле может сбить с толку, если не записать все результаты. Проверьте четыре последовательные производные: после них исходная функция возвращается.
Для нахождения производных высших порядков нужны определение производной и правила дифференцирования суммы, степенной, показательной и тригонометрических функций. Если эти правила знакомы, повторное дифференцирование сводится к их последовательному применению. В дальнейшем вторая производная помогает исследовать выпуклость графика и точки перегиба.
В задачах о движении первая производная координаты по времени связана со скоростью, а вторая — с ускорением. Поэтому производные высших порядков связывают алгебраические вычисления с описанием изменения движения. Они также дают инструменты для более подробного исследования функций.
Что означает обозначение f''(x)?
Это вторая производная функции f: сначала находят f'(x), затем дифференцируют полученную функцию ещё раз. Обозначение читают «эф два штриха от икс».
Чем производная второго порядка отличается от квадрата первой производной?
f''(x) — это производная от f'(x), а не произведение f'(x) на саму себя. Квадрат первой производной записывают как (f'(x))².
Как найти производную n-го порядка?
Нужно последовательно дифференцировать функцию n раз: после f' находят f'', затем f''' и так далее. На каждом шаге к полученному выражению применяют правила дифференцирования.
Почему производные sin x и cos x повторяются через четыре шага?
При дифференцировании синус превращается в косинус, а косинус — в минус синус. Далее появляются −cos x и снова sin x, поэтому после четырёх шагов исходная функция возвращается.
Когда производные степенной функции становятся равными нулю?
Для xᵐ, где m — натуральное число, производная порядка m постоянна, а производная порядка m + 1 равна нулю. Все последующие производные также нулевые.
5.6. Производные высших порядков
