5.7. Выпуклость графика функции

Определения и обозначения

Выпуклость графика функции — это расположение графика относительно хорд на заданном промежутке. Хорда — отрезок прямой, соединяющий две точки графика. Такое определение помогает описать изгиб кривой не на глаз, а с помощью точного геометрического сравнения.

Выпуклая вниз функция — функция, график которой лежит не выше любой хорды, соединяющей его точки. Если существует вторая производная, обычно выполняется условие f''(x) > 0. Это означает, что график имеет форму чаши, раскрытой вверх.

Выпуклая вверх функция — функция, график которой лежит не ниже любой хорды. При существовании второй производной обычно f''(x) < 0. Такая характеристика нужна, чтобы отличить изгиб дугой вниз от изгиба дугой вверх.

Точка перегиба — точка графика, в которой меняется направление выпуклости. Например, слева график может быть выпуклым вверх, а справа — выпуклым вниз. Нахождение таких точек позволяет точнее изобразить форму графика.

Как это устроено

Возьмём две точки графика и проведём через них хорду. Если все промежуточные участки графика находятся ниже этой прямой, график называют выпуклым вниз; если выше — выпуклым вверх. Поэтому выпуклость всегда относят не просто к функции вообще, а к определённому промежутку.

Наклон графика в каждой точке описывает первая производная f'(x). Когда x увеличивается и f'(x) возрастает, касательные становятся всё более наклонными вправо, поэтому кривая постепенно поворачивается вверх. Именно это изменение наклона приводит к выпуклости вниз.

Если первая производная убывает, наклон касательных уменьшается. Кривая при движении слева направо постепенно поворачивается вниз, поэтому она становится выпуклой вверх. Так геометрическое свойство связывается с изменением f'(x), а не только с видом нарисованной линии.

Вторая производная f''(x) показывает скорость изменения первой производной. Поэтому при f''(x) > 0 первая производная возрастает и функция выпукла вниз, а при f''(x) < 0 первая производная убывает и функция выпукла вверх. Знак второй производной нужно проверять на каждом промежутке отдельно.

Для исследования сначала находят область определения и вторую производную. Затем отмечают точки, где f''(x) равна нулю или не существует, и по ним разбивают область определения на интервалы. Если при переходе через такую точку знак f'' меняется, точка графика является точкой перегиба.

Равенство f''(x) = 0 ещё ничего не доказывает само по себе. Например, у функции y = x⁴ вторая производная равна нулю при x = 0, но по обе стороны от нуля она положительна, поэтому направление выпуклости не меняется. Следовательно, точку перегиба подтверждает именно смена знака, а не одно вычислительное равенство.

Выпуклость графика и знак второй производной

В таблице сначала находят строку со знаком второй производной, а затем сопоставляют её с поведением первой производной и формой графика. Условие для точки перегиба проверяют отдельно: смена знака должна происходить при переходе через конкретное значение x. Примеры помогают быстро сверить результат с известными параболами.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать на выпуклость функцию y = x²

Нужно определить, как изгибается график на всей числовой прямой. Область определения функции — все действительные числа. Для этого достаточно вычислить вторую производную и установить её знак.

1. Находим производные: f'(x) = 2x, f''(x) = 2.
2. Так как f''(x) = 2 > 0 при любом x, знак второй производной нигде не меняется.
3. Следовательно, график выпукл вниз на всей числовой прямой, а точек перегиба нет.

Ответ: функция выпукла вниз на (−∞; +∞), точек перегиба нет.

Задача 2. Исследовать y = x³ − 3x

Здесь вторая производная может менять знак, поэтому важно проверить интервалы по обе стороны от подозрительной точки. Область определения — вся числовая прямая. Найдём эту точку и сравним знаки второй производной.

1. Вычисляем: f'(x) = 3x² − 3, f''(x) = 6x.
2. Решаем 6x = 0 и получаем x = 0.
3. При x < 0 имеем f''(x) < 0, поэтому функция выпукла вверх; при x > 0 имеем f''(x) > 0, поэтому она выпукла вниз.
4. Знак изменился, значит, x = 0 даёт точку перегиба. Её ордината: f(0) = 0.

Ответ: выпуклость вверх на (−∞; 0), выпуклость вниз на (0; +∞), точка перегиба (0; 0).

Задача 3. Исследовать y = x⁴ − 2x²

У функции несколько значений, в которых вторая производная обращается в ноль. Поэтому нельзя ограничиться одной проверкой: нужно решить неравенства и исследовать все получившиеся промежутки. Область определения — вся числовая прямая.

1. Находим f'(x) = 4x³ − 4x и f''(x) = 12x² − 4 = 4(3x² − 1).
2. Из уравнения f''(x) = 0 получаем x = −1/√3 и x = 1/√3.
3. При |x| > 1/√3 вторая производная положительна, поэтому функция выпукла вниз на (−∞; −1/√3) и (1/√3; +∞).
4. При |x| < 1/√3 вторая производная отрицательна, поэтому функция выпукла вверх на (−1/√3; 1/√3).
5. Знак меняется в обеих найденных точках. Их ордината равна −5/9, поэтому точки перегиба: (−1/√3; −5/9) и (1/√3; −5/9).

Ответ: выпуклость вниз на внешних промежутках, выпуклость вверх на среднем; точки перегиба указаны выше.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что f''(x) = 0 автоматически даёт точку перегиба. Так происходит из-за смешения необходимого признака с достаточным. Проверьте знак второй производной слева и справа от точки.

Ошибка 2. Путать выпуклость вниз и вверх. Бытовое представление о «направлении изгиба» не всегда совпадает с математическими названиями. Сверяйтесь с правилом: f'' > 0 — выпуклость вниз, f'' < 0 — выпуклость вверх.

Ошибка 3. Исследовать знак второй производной без области определения. Тогда можно включить в ответ точку, где функция не существует. Сначала выпишите область определения и только затем разбивайте её на промежутки.

Ошибка 4. Называть функцию выпуклой на всём промежутке, хотя знак f'' меняется внутри него. Один знак должен сохраняться на рассматриваемом интервале. Если внутри есть критическая точка, разделите промежуток и сделайте отдельные выводы.

Связь с другими темами

До изучения выпуклости нужны производная, вторая производная, интервалы знакопостоянства и общий алгоритм исследования функции. Без этих навыков трудно правильно найти границы промежутков и определить знак f''.

Выпуклость помогает строить более точный эскиз графика и находить точки перегиба. Вместе с экстремумами, нулями и асимптотами она показывает основную форму кривой.

Свойство используется при исследовании неравенств, касательных и прикладных моделей. Например, по выпуклости можно оценивать положение графика относительно хорды или касательной.

Что запомнить

• Выпуклость рассматривают на конкретном промежутке.
• При f''(x) > 0 функция выпукла вниз.
• При f''(x) < 0 функция выпукла вверх.
• Нулевое значение второй производной является только возможным признаком точки перегиба.
• Для точки перегиба выпуклость должна измениться при переходе через неё.
• Знак второй производной определяют отдельно на каждом промежутке области определения.
• Исследование выпуклости помогает точнее построить график функции.