5.8. Экстремум функции с единственной критической точкой

Определения и обозначения

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Её обозначают, например, x₀. Такие точки служат кандидатами на экстремум, поэтому с них начинают исследование функции.

Точка экстремума — точка, в которой функция имеет локальный максимум или локальный минимум. Речь идёт о поведении функции рядом с точкой, а не обо всей области определения. Поэтому экстремум может быть локальным, даже если где-то дальше функция принимает большее или меньшее значение.

Локальный максимум — значение функции в точке не меньше значений функции в достаточно близких точках. Если x₀ — такая точка, то для всех x рядом с x₀ выполняется f(x₀) ≥ f(x). Это означает, что график около x₀ образует вершину.

Локальный минимум — значение функции в точке не больше значений функции в достаточно близких точках. Иными словами, f(x₀) ≤ f(x) для соседних x. На графике такая точка выглядит как дно впадины.

Как это устроено

Внутри области определения функция, имеющая локальный экстремум и производную, должна удовлетворять необходимому условию: её производная в этой точке равна нулю. Геометрически касательная к графику в гладкой точке экстремума обычно горизонтальна. Если производной нет, точка тоже может быть экстремумом, например вершина графика с изломом.

Единственная критическая точка x₀ разбивает область определения на промежуток слева от x₀ и промежуток справа от x₀. На каждом из них производная обычно сохраняет знак, поэтому по знаку можно определить монотонность функции. Затем сравнивают поведение слева и справа, а не только значение производной в самой точке.

Если слева f′(x) > 0, функция возрастает по направлению к x₀, а если справа f′(x) < 0, после x₀ она убывает. Значит, около x₀ значения сначала увеличиваются, а затем уменьшаются, поэтому возникает локальный максимум. Обратная смена знака даёт минимум: сначала функция убывает, затем возрастает.

Единственность критической точки сама по себе ничего не гарантирует. Например, производная может быть положительной и слева, и справа, так что функция продолжит возрастать через x₀. Она может также оставаться отрицательной с обеих сторон и продолжать убываться; в обоих случаях экстремума нет.

Локальный экстремум нельзя автоматически считать наибольшим или наименьшим значением на отрезке. Для абсолютного максимума и минимума находят все критические точки внутри отрезка, вычисляют значения функции в них и отдельно проверяют оба конца. Только после сравнения всех полученных значений делают окончательный вывод.

Для функции f(x) = x² производная f′(x) = 2x отрицательна слева от нуля и положительна справа. Поэтому график убывает, достигает минимума при x = 0, а затем возрастает.

Знак производной слева и справа от единственной критической точки

Таблица помогает быстро связать знаки производной со сменой монотонности функции. Сначала определите критическую точку, затем проверьте знак производной на каждом из двух соседних промежутков. Если знак не меняется, точка экстремумом не является.

Разбор задач

1. Функция f(x) = x² − 6x + 10

Найдём критическую точку и выясним, есть ли в ней экстремум. Область определения функции — все действительные числа, поэтому проверяем производную на всей числовой прямой.

1. Вычислим производную: f′(x) = 2x − 6.
2. Решим уравнение 2x − 6 = 0 и получим x₀ = 3. Это единственная критическая точка.
3. При x < 3 производная отрицательна, а при x > 3 положительна. Функция убывает, затем возрастает, значит, в x = 3 минимум.
4. Найдём значение: f(3) = 9 − 18 + 10 = 1.

Ответ: минимум достигается при x = 3, его значение равно 1.

2. Функция f(x) = x⁴ + 2x² − 3

Здесь удобно разложить производную на множители, чтобы сразу увидеть её знак. Нужно также убедиться, что критическая точка только одна.

1. f′(x) = 4x³ + 4x = 4x(x² + 1).
2. Множитель x² + 1 всегда положителен, поэтому производная обращается в нуль только при x₀ = 0.
3. При x < 0 множитель x отрицателен, значит f′(x) < 0; при x > 0 f′(x) > 0.
4. Функция убывает слева от нуля и возрастает справа, следовательно, имеет минимум. f(0) = −3.

Ответ: единственная критическая точка x = 0 является точкой минимума; минимальное локальное значение равно −3.

3. Функция f(x) = x³

Проверим, даёт ли единственная критическая точка экстремум. Важно исследовать знаки производной по обе стороны от неё.

1. f′(x) = 3x², поэтому f′(0) = 0 и x₀ = 0 — единственная критическая точка.
2. При любом x ≠ 0 выполняется 3x² > 0, в том числе слева и справа от нуля.
3. Функция возрастает на обоих соседних промежутках. Знак производной не меняется, поэтому ни максимума, ни минимума в нуле нет.

Ответ: функция x³ не имеет экстремума в своей единственной критической точке x = 0.

Типичные ошибки

Считать любую точку, где f′(x) = 0, экстремумом. Нулевое значение производной — только необходимое условие, а не достаточное. Проверьте знаки производной слева и справа от точки.

Не проверять точки, где производная не существует. Ошибку допускают, потому что запоминают лишь уравнение f′(x) = 0. Сначала проверьте область определения и места изломов, а затем исследуйте смену монотонности.

Путать знак производной в точке со знаками на промежутках. В критической точке производная может быть равна нулю или отсутствовать, поэтому её одиночное значение не показывает поведение функции. Составьте таблицу знаков слева и справа.

Называть локальный экстремум абсолютным. Близкие значения не характеризуют всю область или отрезок. Для наибольшего и наименьшего значений сравните критические точки с концами отрезка.

Связь с другими темами

Для исследования нужны правила нахождения производной, понятия критической точки и критерий возрастания или убывания по знаку производной. Без них невозможно обосновать смену монотонности.

Тема входит в общее исследование функции: по критическим точкам, промежуткам монотонности и экстремумам строят более точный график. Знаки производной помогают увидеть форму графика ещё до построения.

Метод применяется при поиске наибольших и наименьших значений, а также в задачах оптимизации. Так находят, например, размеры или параметры, при которых величина достигает максимума или минимума.

Что запомнить

• Единственная критическая точка не обязательно является точкой экстремума.
• Переход производной от плюса к минусу означает максимум.
• Переход производной от минуса к плюсу означает минимум.
• Если знак производной не меняется, экстремума в критической точке нет.
• Для абсолютного максимума или минимума на отрезке проверяют критические точки и концы отрезка.
• Исследование экстремума основано на знаках производной слева и справа от критической точки.