"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Равносильные преобразования помогают менять вид неравенства, не меняя его решений. Благодаря им можно переносить слагаемые, раскрывать скобки и сводить задачу к более простому виду. Прибавление одного и того же выражения к обеим частям сохраняет знак, как и умножение на положительное число. При умножении или делении на отрицательное знак нужно перевернуть. Если множитель зависит от переменной, сначала выясняют его знак и учитывают область допустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Все такие значения вместе образуют множество решений. Например, для x > 2 решениями являются все числа больше 2. Это понятие позволяет описать не один ответ, а целый набор подходящих значений.
Равносильные неравенства — неравенства с одной и той же областью допустимых значений и одинаковыми множествами решений. Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых выражения в неравенстве определены. Проверка равносильности нужна, чтобы убедиться: после преобразований ни одно решение не потерялось и лишнее не появилось.
Равносильное преобразование неравенства — преобразование, при котором множество решений исходного неравенства не изменяется. К таким действиям относятся, например, прибавление одного и того же числа к обеим частям и деление обеих частей на положительное число. Понятие помогает отличать безопасные действия от тех, которые могут изменить ответ.
Знак неравенства показывает, какое отношение связывает выражения: одно меньше или больше другого либо не превосходит его. Направление знака сохраняется при некоторых действиях, но при умножении или делении обеих частей на отрицательное число меняется на противоположное. Это правило учитывают при каждом преобразовании, чтобы не изменить смысл сравнения.
Если к двум сравниваемым числам прибавить одно и то же число, их взаимный порядок останется прежним: расстояние между ними не изменится. То же верно, если из обеих частей вычесть одинаковое число. Выражение вместо числа тоже допустимо, если оно определено для рассматриваемых значений переменной. Поэтому перенос слагаемого через знак неравенства — это сокращённая запись прибавления или вычитания этого слагаемого в обеих частях.
Умножение на положительное число растягивает числовую прямую, но не меняет порядок расположения чисел. Например, из 2 < 5 следует 6 < 15 после умножения на 3. Деление на положительное число действует так же, только уменьшает расстояние между числами. Поэтому направление знака при этих действиях сохраняется.
Отрицательное число меняет порядок чисел относительно нуля: при умножении точки числовой прямой отражаются относительно нуля. Например, 2 < 5 превращается в −2 > −5. Деление на отрицательное число приводит к тому же эффекту, поэтому знак обязательно переворачивают. Если этого не сделать, получится неравенство с другим множеством решений.
Эти свойства упрощают неравенство: можно переносить слагаемые, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. При этом раскрытие скобок и приведение подобных основаны на обычных тождественных преобразованиях, а перенос слагаемых — на прибавлении или вычитании одинакового выражения. После упрощения часто остаётся неравенство, где переменная отделена от чисел. На каждом шаге полезно отмечать, какое правило применяется.
Выражение с переменной может быть положительным при одних значениях, отрицательным при других и равным нулю при третьих. Поэтому умножение или деление на него без анализа знака не гарантирует сохранения решений. Нужно определить его знак на допустимых промежутках и рассмотреть каждый случай отдельно; при нуле делить нельзя. Также следует сохранить ОДЗ: если в исходном выражении есть знаменатель, его нулевые значения исключают из ответа.
| Преобразование | Условие | Изменение знака | Результат |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа или выражения к обеим частям | Всегда допустимо при сохранении области допустимых значений | Не изменяется | a < b равносильно a + c < b + c |
| Вычитание одного и того же числа или выражения из обеих частей | Всегда допустимо при сохранении области допустимых значений | Не изменяется | a < b равносильно a − c < b − c |
| Умножение или деление обеих частей на положительное число | Множитель или делитель больше нуля | Не изменяется | a < b равносильно ac < bc при c > 0 |
| Умножение или деление обеих частей на отрицательное число | Множитель или делитель меньше нуля | Меняется на противоположный | a < b равносильно ac > bc при c < 0 |
| Умножение или деление на выражение с переменной | Знак выражения должен быть заранее известен или рассмотрен по случаям | Зависит от знака выражения | Преобразование выполняют отдельно на каждом промежутке допустимых значений |
Сначала проверь условие в строке: особенно внимательно — знак множителя или делителя и допустимость выражений. Затем посмотри, нужно ли менять направление знака. Для выражения с переменной одной строки с готовым правилом недостаточно: сначала разбей область на случаи по его знаку.
Переменная стоит в левой части вместе с числом −7. Чтобы оставить x отдельно, прибавим 7 к обеим частям. Прибавление одного и того же числа не меняет направление знака. Затем укажем множество всех значений, удовлетворяющих результату.
Ответ: x > 10.
Сначала уберём свободное число 5, вычтя его из обеих частей. Затем разделим обе части на коэффициент при x, равный −2. Он отрицательный, поэтому при делении направление знака необходимо поменять. Такой порядок действий позволяет не потерять ни знак, ни смысл неравенства.
Ответ: x ≥ −3.
Знаменатель зависит от x и может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому сразу умножать на него нельзя. Сначала найдём ОДЗ: x ≠ 1. Перенесём все слагаемые в одну часть, приведём к общей дроби, а затем рассмотрим знак знаменателя на двух промежутках. При умножении на отрицательный знаменатель знак неравенства перевернётся.
Ответ: x ∈ (−∞; 1) ∪ (5/2; +∞).
Не меняют знак при делении на отрицательное число. Ошибка возникает, когда правило механически переносят с равенств, где направление сравнения отсутствует. Проверка на простом примере 2 < 5: после деления на −1 получаем −2 > −5. Если у тебя вышло −2 < −5, знак нужно исправить.
Делят или умножают на выражение с переменной, не выяснив его знак. Например, x − 1 бывает и положительным, и отрицательным, поэтому действие может потребовать разных знаков неравенства. Это часто делают ради быстрого избавления от знаменателя. Проверь выражение на промежутках: если знак не один и тот же, решай отдельные случаи.
Забывают ограничение на переменную после преобразования дробного неравенства. Приведение к общему знаменателю или умножение может убрать знаменатель из записи, но не делает допустимым значение, при котором он равнялся нулю. Ошибка появляется, если учитывают только итоговое неравенство. Перед ответом сверяй его с ОДЗ исходной дроби и исключай запрещённые значения.
Считают любое алгебраическое действие равносильным. Возведение в квадрат, извлечение корня или сокращение на выражение способны потерять решения либо добавить лишние. Такие действия требуют дополнительных условий: например, при сокращении нужно знать, что сокращаемое выражение не равно нулю. Проверяй, можно ли выполнить обратный шаг без потери и добавления значений; если нет, обоснуй преобразование отдельно.
Для работы с неравенствами нужны свойства числовых неравенств, правила действий с отрицательными числами и понимание множества решений. На этих знаниях строятся преобразования, сохраняющие ответы. Правила применяются при решении линейных и дробно-рациональных неравенств, а также показательных и логарифмических, где дополнительно проверяют ОДЗ и условия на основание или аргумент. Они нужны и при решении систем и совокупностей неравенств, и при исследовании области допустимых значений функций.
Почему при переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется?
На самом деле слагаемое не перемещают через знак: его вычитают из обеих частей неравенства. Поэтому знак неравенства остаётся прежним, а у перенесённого слагаемого меняется знак.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный: например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому знак неравенства обязательно меняют на противоположный.
Можно ли умножить неравенство на выражение с переменной?
Можно, если сначала выяснить знак выражения на рассматриваемых значениях переменной. При положительном значении знак неравенства сохраняется, при отрицательном меняется, а нулевые значения требуют отдельного учёта.
Как проверить, что преобразование неравенства является равносильным?
Нужно убедиться, что преобразование сохраняет область допустимых значений и не меняет множество решений. Для этого проверяют условия применения правила; при сомнении можно сравнить исходное и полученное неравенства на допустимых значениях.
Почему значение, обращающее знаменатель в ноль, нельзя включать в ответ?
При таком значении дробь не определена, поэтому исходное неравенство не имеет смысла. Это значение исключают из области допустимых значений и из ответа, даже если оно подходит преобразованному выражению.
7.2. Равносильные преобразования неравенств
