"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Уравнение-следствие получают из исходного уравнения так, что каждый корень исходного подходит и к новому, но не обязательно наоборот. Поэтому преобразование может добавить посторонние корни, например при возведении обеих частей в квадрат или умножении на выражение с переменной. Чтобы решить уравнение правильно, сначала находят область допустимых значений, затем получают возможные корни и проверяют их подстановкой в исходное уравнение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение-следствие — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения. Иными словами, решения исходного уравнения сохраняются после перехода, но новое уравнение может дать дополнительные значения. Это понятие помогает не принять все найденные значения за ответы без проверки.
Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми множествами корней. Если преобразование равносильно, список решений не меняется ни в одну сторону. Такие переходы позволяют уверенно заменять одно уравнение другим.
Посторонний корень — число, полученное при преобразовании, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Оно может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка нужна, чтобы отделить такие значения от настоящих решений.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все выражения исходного уравнения имеют смысл. Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. ОДЗ ограничивает поиск ещё до преобразований.
Если из уравнения A(x) = B(x) переходят к уравнению-следствию, то всякий корень первого сохраняется во втором. Причина в том, что применённое действие верно для всех значений, удовлетворяющих исходному равенству. Но обратный переход может не работать: преобразование иногда стирает различия между значениями или допускает случаи, запрещённые исходным условием.
В цепочке равносильных преобразований каждое уравнение имеет те же корни, что и предыдущее, поэтому можно двигаться в обе стороны. В цепочке следствий сохраняется только направление от исходного уравнения к полученному. Если решить последнее уравнение и записать все его корни, среди них могут оказаться лишние, поэтому в конце возвращаются к исходному условию.
При возведении в квадрат равенство a = b влечёт a² = b², но из a² = b² следует лишь a = b или a = −b. Так могут появиться корни, для которых исходные части противоположны. При умножении на выражение g(x) равенство сохраняется, однако при g(x) = 0 произведение может стать нулём независимо от исходных частей; деление на g(x) также допустимо только при g(x) ≠ 0.
ОДЗ определяют по исходному уравнению, потому что именно в нём должно иметь смысл искомое решение. После преобразований часть ограничений может исчезнуть из записи, но от этого они не отменяются. Затем найденные значения подставляют в исходное уравнение: такая проверка выявляет и посторонние корни, и значения, не входящие в ОДЗ.
Иногда преобразование, обычно дающее следствие, становится равносильным, если добавить условие, исключающее потерю информации. Например, если обе части неотрицательны, из a² = b² следует a = b, поэтому возведение в квадрат обратимо на этом множестве. При умножении на g(x) переход равносилен, если заранее известно, что g(x) ≠ 0; при применении функции нужна её обратимость на рассматриваемых значениях.
Таблица подсказывает, где корни сохраняются автоматически, а где могут появиться дополнительные условия. Перед преобразованием проверь, выполнены ли эти условия на ОДЗ и среди найденных значений. Если равносильность не доказана, подставь кандидатов в исходное уравнение.
| Преобразование | Что гарантируется | Что требуется проверить |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же выражения к обеим частям | Получается равносильное уравнение | Дополнительная проверка не требуется |
| Умножение обеих частей на ненулевое число | Получается равносильное уравнение | Нужно убедиться, что множитель не равен нулю |
| Умножение обеих частей на выражение с переменной | Обычно получается уравнение-следствие | ОДЗ и возможные нулевые значения множителя |
| Возведение обеих частей в квадрат | Получается уравнение-следствие | Знаки обеих частей и проверка найденных корней |
| Применение одной и той же функции к обеим частям | Получается уравнение-следствие | Обратимость функции на рассматриваемом множестве |
Корень квадратный неотрицателен, значит правая часть тоже должна быть неотрицательной. Это даёт условие x ≥ 0; кроме того, подкоренное выражение требует x + 2 ≥ 0. Квадрат обеих частей уравнения даст следствие, поэтому его корни нужно проверить.
Ответ: x = 2.
Знаменатель накладывает запрет x ≠ 2. При умножении на x − 2 мы получим уравнение, но обязательно сохраним этот запрет. Это позволяет не принять значение, при котором исходная дробь не определена.
Ответ: x = (3 + √13)/2 или x = (3 − √13)/2.
Сначала определяем ОДЗ: x ≥ 2. Изолируем один радикал, затем возводим равенство в квадрат; повторное возведение также может дать лишние значения. Поэтому окончательное решение определяем подстановкой в исходное уравнение.
Ответ: решений нет.
Считать любое преобразование равносильным и не проверять корни после возведения в квадрат. Так поступают, потому что привычно решают цепочку как обычные равенства; проверка — выяснить, доказана ли обратимость каждого шага, а при сомнении подставить корни в исходное уравнение.
Умножать на выражение с переменной, не учитывая, что оно может быть нулём. Это упускают, поскольку после умножения знаменатель или множитель часто исчезает из записи; проверь его нули и исключи запрещённые значения до действий.
Забывать ограничить ОДЗ до начала преобразований. После упрощения знаменатель или радикал может исчезнуть, и ограничение уже не будет заметно; выпиши условия для исходных знаменателей и корней заранее.
Записывать все корни уравнения-следствия как ответы без подстановки. Найденное число решает преобразованное, но не обязательно исходное уравнение; подстановка в исходную запись показывает, выполняется ли равенство.
Для работы с уравнениями-следствиями нужны понятие корня, равносильные преобразования и умение находить ОДЗ. Эти знания особенно пригодятся в иррациональных, дробно-рациональных, показательных и логарифмических уравнениях, где преобразования часто добавляют условия или кандидатов.
Похожая логика встречается при преобразовании неравенств: важно различать прямое следствие и равносильный переход. Например, умножение неравенства на выражение неизвестного знака может изменить направление сравнения, поэтому условия преобразования нужно контролировать.
Почему после возведения в квадрат появляются посторонние корни?
Квадраты равны, если исходные числа равны или противоположны: a² = b² не означает обязательно a = b. Поэтому уравнение после возведения в квадрат может принять значения, при которых исходное равенство не выполняется. Такие значения отбрасывают проверкой.
Всегда ли нужно проверять корни уравнения-следствия?
Да, если переход мог добавить решения: найденные значения проверяют в исходном уравнении. Проверка может быть не нужна, когда отдельно доказано, что преобразование равносильно, например при возведении в квадрат неотрицательных частей.
Чем уравнение-следствие отличается от равносильного уравнения?
У каждого корня исходного уравнения есть соответствующий корень уравнения-следствия, но у последнего могут появиться дополнительные корни. Равносильные уравнения имеют полностью одинаковые множества корней.
Почему нельзя сразу сокращать или умножать на выражение с переменной?
Выражение с переменной может оказаться нулём, а деление на ноль запрещено. При умножении на такое выражение иногда возникают дополнительные решения. Нужно учесть его нулевые значения и проверить полученные корни.
Можно ли считать найденный корень допустимым, если он удовлетворяет только преобразованному уравнению?
Нет. Он может оказаться посторонним или не входить в область допустимых значений исходного уравнения. Ответом будет только число, которое удовлетворяет исходному уравнению.
§ 8. Уравнения-следствия
