8.1. Понятие уравнения-следствия

Определения и обозначения

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство. Например, число 3 — корень уравнения x = 3, потому что при подстановке получается 3 = 3. Понятие корня позволяет проверять, подходит ли найденное значение.

Множество корней уравнения — все значения переменной, удовлетворяющие этому уравнению. Например, у уравнения x² = 1 множество корней состоит из чисел −1 и 1. Сравнивая множества корней двух уравнений, можно понять, совпадают ли их решения или одно множество входит в другое.

Уравнение-следствие исходного уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного. Иначе говоря, множество корней нового уравнения входит в множество корней исходного. Это определение помогает отличать преобразование, которое сохраняет нужное направление связи, от преобразования, сохраняющего все решения.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Каждое из них является следствием другого, потому что все корни одного подходят другому и наоборот. Если уравнения равносильны, их можно заменять друг другом без потери или добавления решений.

Как это устроено

Уравнение-следствие получают так, чтобы ни один корень исходного уравнения не потерялся. Для этого достаточно, чтобы из верности исходного равенства следовала верность нового. Но обратный переход может оказаться невозможным, поэтому новое уравнение иногда допускает дополнительные значения переменной. Такие значения называют посторонними корнями исходного уравнения.

Логическое следование между уравнениями обозначают, например, A ⇒ B: это читают «из уравнения A следует уравнение B». Если X_A и X_B — множества корней этих уравнений, то такое следование означает X_A ⊆ X_B. Запись показывает, что каждый корень A входит в множество корней B, но в X_B могут быть и другие элементы. Для равносильных уравнений нужны оба направления: A ⇒ B и B ⇒ A.

Прибавление одного и того же выражения к обеим частям равенства сохраняет корни, потому что обратный шаг — вычитание этого выражения — тоже всегда возможен. Вычитание работает по той же причине. При умножении ситуация другая: если множитель равен нулю, произведения становятся равными независимо от того, были ли равны исходные части. Поэтому умножение может добавить корни, удовлетворяющие условию «множитель равен нулю».

Возведение обеих частей в квадрат сохраняет верность равенства, значит каждый исходный корень остаётся корнем полученного уравнения. Однако из равенства квадратов следует только, что числа равны или противоположны: a² = b² означает a = b или a = −b. В результате квадратное уравнение может принять решения, для которых исходные части уравнения были противоположными, а не равными.

Преобразования, обратимые на рассматриваемой области, сохраняют равносильность. Если обратный переход невозможен или требует условия, то гарантировано только следование в одну сторону. Поэтому решение уравнения-следствия ещё не завершает решение исходного: каждое найденное значение нужно проверить подстановкой. При делении на выражение сначала отдельно рассматривают значения, при которых делитель равен нулю.

Как преобразования уравнений влияют на множество корней

Смотри не только на выполненное действие, но и на то, можно ли его обратить без дополнительных условий. Проверка нулевых значений множителя или делителя показывает, откуда могли взяться лишние корни или куда могли исчезнуть решения.

Разбор задач

Задача 1. Из уравнения x = 3 умножением обеих частей на x − 3 получить уравнение-следствие и найти его корни. Множитель обращается в ноль при x = 3, поэтому этот случай нельзя игнорировать. После умножения получаем x(x − 3) = 3(x − 3), то есть (x − 3)² = 0. Единственный корень нового уравнения — 3, и он является корнем исходного.

1. Умножаем обе части равенства x = 3 на x − 3.
2. Переносим выражения в одну часть: x(x − 3) − 3(x − 3) = 0.
3. Выносим общий множитель: (x − 3)² = 0, откуда x = 3.

Ответ: уравнение-следствие (x − 3)² = 0 имеет корень 3. В этом примере умножение не добавило нового корня: нулевое значение множителя совпало с корнем исходного уравнения.

Задача 2. Решить √(x + 1) = x − 1 возведением обеих частей в квадрат и проверить ответ. Подкоренное выражение требует x ≥ −1, а левая часть неотрицательна, поэтому исходное равенство также требует x − 1 ≥ 0. После квадратирования решаем уравнение, но затем проверяем кандидатов в исходном равенстве: именно там может обнаружиться посторонний корень.

1. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)².
2. Раскрываем скобки и упрощаем: x + 1 = x² − 2x + 1, значит x² − 3x = 0.
3. Разлагаем на множители: x(x − 3) = 0. Кандидаты — x = 0 и x = 3.
4. Проверяем исходное уравнение: при x = 0 получаем 1 = −1, это неверно; при x = 3 получаем 2 = 2.

Ответ: x = 3. Значение 0 появилось после возведения в квадрат и не подходит исходному уравнению.

Задача 3. Решить (x − 2)(x + 1) = 0, разделив обе части на x − 2, и объяснить, почему не все корни сохраняются. Деление допустимо только при x ≠ 2, поэтому прежде чем делить, отдельно рассматриваем значение 2. Если сразу сократить множитель, случай x = 2 будет исключён и один корень потеряется.

1. Приравниваем множители к нулю: x − 2 = 0 или x + 1 = 0.
2. Получаем корни исходного уравнения: x = 2 и x = −1.
3. При делении на x − 2 предполагаем x ≠ 2; тогда остаётся x + 1 = 0, откуда x = −1.
4. Отдельно проверяем исключённый случай x = 2: он удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: корни исходного уравнения — 2 и −1. Деление без отдельной проверки сохранило бы только −1 и потеряло бы корень 2.

Типичные ошибки

Считать уравнение-следствие равносильным исходному — значит предполагать, что у них совпадают множества корней. Так думают, если обращают внимание только на сохранение исходных решений. Проверь себя: можно ли выполнить обратный переход для каждого решения нового уравнения? Если нет, у следствия могут быть дополнительные корни.

Принимать каждый корень полученного уравнения за корень исходного опасно после возведения в квадрат и других неравносильных преобразований. Ошибка возникает потому, что новое равенство может выполняться при значениях, которые исходному равенству не подходят. Подставь каждый кандидат в исходное уравнение и оставь только те значения, при которых равенство верно.

Делить обе части на выражение, не проверив, может ли оно быть нулём, — значит рисковать потерять корень. Делитель с переменной иногда равен нулю именно при одном из решений. До деления найди нулевые значения выражения и проверь их в исходном уравнении отдельно.

Считать, что умножение на выражение всегда сохраняет множество корней, — неверно: если множитель равен нулю, обе полученные части могут совпасть независимо от исходного равенства. Обычно это упускают, потому что умножение на число, отличное от нуля, действительно обратимо. Для самопроверки реши уравнение «множитель равен нулю» и проверь найденные значения в исходном уравнении.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое уравнение и его корень, уметь находить множество решений и понимать равносильность уравнений. Эти понятия позволяют точно сравнивать результаты преобразований: сохраняются ли все решения или только часть связи между уравнениями.

Понятие следствия особенно пригодится при решении уравнений с радикалами, дробями и другими выражениями, для которых приходится возводить части в степень, умножать или делить на выражение с переменной. Оно помогает увидеть, когда после преобразований нужна проверка корней и почему нельзя без условий отменять выполненный шаг.

Что запомнить

• Каждый корень исходного уравнения должен быть корнем уравнения-следствия.
• У следствия могут появиться дополнительные корни.
• Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней.
• Возведение обеих частей в квадрат обычно даёт следствие, а не равносильное уравнение.
• Перед делением на выражение проверь, не равно ли оно нулю.
• Корни, найденные после неравносильного преобразования, проверяй в исходном уравнении.