"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Возведение уравнения в чётную степень помогает избавиться от корней и других сложных выражений, чтобы получить уравнение, которое проще решить. Но такое преобразование не всегда сохраняет только исходные корни: одинаковые чётные степени могут получиться у равных и у противоположных чисел. Поэтому перед преобразованием учитывают область допустимых значений и знаки частей, а найденные решения проверяют в исходном уравнении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Возведение уравнения в чётную степень — преобразование, при котором обе части уравнения возводят в одну и ту же чётную степень, например в квадрат. Оно позволяет убрать квадратные корни или упростить выражения, но требует осторожности. После преобразования уравнение может иметь дополнительные корни.
Следствие уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения. Возведение обеих частей в одну и ту же степень всегда даёт следствие: если число удовлетворяло исходному равенству, то равными будут и его одинаковые степени. Это направление рассуждения гарантировано, а обратное — не всегда.
Посторонний корень — корень полученного уравнения, который не удовлетворяет исходному. Он появляется, когда преобразование допускает значения, не подходившие первоначально. Такие корни отбрасывают проверкой подстановкой в исходное уравнение.
Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми множествами корней. Чтобы после возведения в чётную степень получить равносильное уравнение, нужны дополнительные условия, например неотрицательность обеих частей. Тогда проверка знаков помогает убедиться, что преобразование не добавило решений.
Пусть при некотором значении переменной левая и правая части равны: A = B. Если возвести обе части в одинаковую степень, равенство сохранится: A² = B². Поэтому каждый корень исходного уравнения обязательно решает полученное. Именно по этой причине преобразованное уравнение является следствием исходного, хотя множества корней могут различаться.
Проблема возникает при попытке вернуться от равенства степеней к исходному равенству. Например, из A² = B² следует не только A = B, но и A = −B: квадрат не различает число и противоположное ему. Поэтому решение нового уравнения может подходить условию A = −B, но не исходному условию A = B. Этот кандидат и называют посторонним корнем.
Равносильность можно обеспечить, если заранее известен одинаковый знак частей. В частности, для неотрицательных A и B равенство A² = B² означает A = B: неотрицательные числа с одинаковыми квадратами совпадают. Аналогично работает условие, что обе части неположительны. Такие ограничения часто удаётся вывести из области допустимых значений или из вида выражений.
При решении сначала найди область допустимых значений и установи, что можно сказать о знаках обеих частей. Затем запиши условия, возведи части в одну и ту же чётную степень и реши полученное уравнение. После этого сопоставь кандидатов с ограничениями и подставь их в исходное равенство. Такой порядок не позволяет потерять условия, действовавшие до преобразования.
Если знаки частей не установлены, нельзя сразу объявлять полученное уравнение равносильным исходному. Например, неизвестно, совпадают ли сами выражения или отличаются знаком, поэтому одного решения уравнения с квадратами недостаточно. В этом случае реши преобразованное уравнение полностью, а затем проверь все найденные значения в исходном. Проверка нужна именно для выбора корней, а не для повторения вычислений.
| Ситуация | Что следует из преобразования | Что нужно проверить |
|---|---|---|
| Возведение обеих частей в чётную степень без дополнительных условий | Исходное уравнение влечёт полученное | Проверить корни в исходном уравнении |
| Обе части неотрицательны | Полученное уравнение равносильно исходному | Проверить, что условие неотрицательности выполнено |
| Знаки частей не установлены | Полученное уравнение может иметь дополнительные корни | Отсеять посторонние корни подстановкой в исходное уравнение |
Сначала найди в таблице ситуацию, которая соответствует твоему уравнению, и определи, какое заключение допустимо. Если нужный знак частей не доказан, не считай преобразование равносильным. Тогда окончательный ответ получают после проверки кандидатов в исходном уравнении.
Задача 1. Решить уравнение x − 1 = 2 возведением обеих частей в квадрат. Здесь знаки частей заранее не ограничены, поэтому квадрат может дать лишний корень. После решения обязательно вернёмся к исходному равенству.
Ответ: x = 3. Значение −1 появилось из-за противоположных знаков частей после возведения в квадрат и является посторонним.
Задача 2. Решить уравнение √(x + 1) = x − 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а квадратный корень не может быть отрицательным. Поэтому до возведения в квадрат ограничим x так, чтобы правая часть тоже была неотрицательной.
Ответ: x = 3. Ограничение на знак правой части позволило не принимать x = 0 за решение.
Задача 3. Решить уравнение √(x² + 1) = 2 − x. Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно лишь при 2 − x ≥ 0. Это условие понадобится и после возведения обеих частей в квадрат.
Ответ: x = ¾. Проверка подтвердила, что найденный кандидат подходит исходному уравнению.
Считать уравнение после возведения в чётную степень равносильным исходному без проверки. Так делают, потому что преобразование выглядит как обычное действие над обеими частями. Но, например, одинаковые квадраты бывают у противоположных чисел; проверь, доказано ли равенство самих частей, а не только их квадратов.
Забывать ограничения на знаки частей. Если знак неизвестен, появляется возможность, что выражения противоположны, и тогда новый корень не подходит исходному уравнению. Перед возведением в степень запиши, какие знаки установлены; если установить их нельзя, запланируй проверку корней.
Не учитывать область допустимых значений до преобразования. После упрощения или возведения в степень могут исчезнуть ограничения, которые были необходимы для смысла исходного выражения, например условие на подкоренное выражение. Найди ОДЗ в начале решения и сверяй с ней кандидатов в конце.
Не подставлять найденные корни в исходное уравнение. Решение преобразованного уравнения даёт лишь кандидатов, если равносильность не доказана. Проверь каждое значение в исходной записи: верное равенство оставь, неверное отбрось.
Для этой темы нужны понятия корня уравнения, равносильных уравнений и области допустимых значений: они помогают определить, какие преобразования сохраняют решение. Возведение в чётную степень особенно полезно при решении иррациональных уравнений, то есть уравнений с корнями, содержащими переменную. В таких задачах оно убирает радикал, но условия на подкоренные выражения и знаки частей остаются необходимыми.
Почему после возведения уравнения в квадрат появляются лишние корни?
Потому что равенство квадратов означает, что числа равны или противоположны: a² = b² влечёт a = b или a = −b. Исходному уравнению соответствует только первый случай, поэтому второй может дать посторонний корень.
Когда возведение обеих частей в чётную степень равносильно исходному уравнению?
Когда заранее известно, что обе части имеют одинаковый знак: тогда их равные чётные степени возможны только при равенстве самих частей. Например, если обе части неотрицательны, возведение в квадрат равносильно.
Нужно ли проверять корни после возведения уравнения в чётную степень?
Да, если условия на знаки частей не гарантируют равносильность. Подстановка в исходное уравнение подтверждает, что найденное значение действительно является его корнем, а не посторонним.
Что делать, если знак одной из частей уравнения неизвестен?
Сначала попробуй установить знак с помощью ограничений на переменную или свойств выражения. Если сделать это нельзя, реши полученное уравнение, а затем проверь каждый кандидат в исходном.
Когда нужно учитывать область допустимых значений?
До преобразований, которые могут привести к значениям, не имеющим смысла в исходном уравнении. Например, подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным; найденные корни также проверяют с учётом этих ограничений.
8.2. Возведение уравнения в четную степень
