8.3. Потенцирование логарифмических уравнений

Определения и обозначения

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, в log₂(x − 1) = 3 неизвестная находится в аргументе. Это определение помогает узнать, что уравнение нужно решать с учётом правил для логарифмов, а не только обычными алгебраическими преобразованиями.

Потенцирование — преобразование логарифмического уравнения по определению логарифма, при котором логарифм заменяют равенством степеней. Так, logₐ f(x) = g(x) превращается в f(x) = a^g(x), если выполнены условия применимости. Потенцирование нужно, чтобы свести задачу к уравнению, которое можно решить знакомыми способами.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения неизвестной, при которых выражения исходного уравнения определены. У аргумента логарифма значение должно быть положительным, а основание должно быть положительным и не равным единице. ОДЗ отсекает значения, которые могли бы случайно стать корнями преобразованного уравнения.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество решений. При потенцировании равносильность сохраняется, если исходные условия на логарифмы учтены. Поэтому недостаточно решить полученное уравнение: найденные значения нужно сверить с ОДЗ исходного уравнения.

Как это устроено

Определение логарифма говорит, что logₐ b = c означает a^c = b. Поэтому равенство logₐ f(x) = g(x) можно записать как f(x) = a^g(x): показатель g(x) показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Переход допустим при a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0, поскольку только при этих условиях логарифм имеет смысл. Например, если log₂(x − 1) = 3, то x − 1 должно равняться 2³.

Если два логарифма имеют одинаковое допустимое основание, равенство логарифмов означает равенство аргументов. Причина в том, что показательная функция a^t при a > 0 и a ≠ 1 принимает каждое положительное значение ровно один раз, а логарифм является обратной ей функцией. Поэтому из logₐ f(x) = logₐ g(x) следует f(x) = g(x). При этом оба аргумента должны быть положительными, иначе исходные логарифмы не существуют.

ОДЗ ищут до преобразований, чтобы сразу ограничить множество возможных решений. Для каждого логарифма с переменным аргументом записывают неравенство: аргумент больше нуля; если переменное входит в основание, дополнительно требуют, чтобы основание было положительным и не равнялось единице. Эти условия относятся к исходным выражениям, а не только к тому уравнению, которое получится после преобразований. Так легче отличить допустимые корни от посторонних.

Сумму или разность логарифмов с одним основанием сначала объединяют по свойствам: logₐ f(x) + logₐ g(x) = logₐ(f(x)g(x)). После этого можно применить определение логарифма, например получить f(x)g(x) = a^c. Но свойство суммы применимо, когда оба аргумента положительны; положительности одного произведения недостаточно. Поэтому в ОДЗ записывают отдельно f(x) > 0 и g(x) > 0.

Уравнение после потенцирования иногда выглядит проще, но его корни ещё не обязательно подходят исходной задаче. Преобразование могло убрать логарифмы и тем самым скрыть условия, при которых они существовали. Чтобы не принять неподходящее значение, сравнивают найденные корни с ОДЗ, а при необходимости подставляют их в исходное уравнение. Если все переходы выполнены при сохранении ОДЗ, допустимые корни являются решениями исходного уравнения.

Потенцирование: вид уравнения и необходимые условия

Пользуйся таблицей после того, как выписал ОДЗ исходного уравнения. Сначала выбери строку, подходящую по виду выражения, а затем перенеси в решение все указанные условия. Если основание зависит от x, его допустимость тоже нужно проверить.

Разбор задач

Уравнение log₂(x − 1) = 3

Сначала выясним, при каких x исходный логарифм существует, а затем заменим его равенством степеней. Это позволит решить линейное уравнение и не забыть проверить найденное значение.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, значит, x > 1.
2. По определению логарифма получаем x − 1 = 2³.
3. Решаем: x − 1 = 8, поэтому x = 9. Значение 9 удовлетворяет условию x > 1.

Ответ: 9.

Уравнение log₃(x + 1) = log₃(7 − x)

Здесь логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому их можно заменить равенством аргументов. Однако сначала запишем условия существования обоих логарифмов, чтобы решение нового уравнения не вышло за ОДЗ.

1. ОДЗ: x + 1 > 0 и 7 − x > 0, откуда −1 < x < 7.
2. При одинаковом основании приравниваем аргументы: x + 1 = 7 − x.
3. Решаем: 2x = 6, значит, x = 3. Проверяем: −1 < 3 < 7, поэтому корень допустим.

Ответ: 3.

Уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 2) = 2

Сумму логарифмов можно объединить, потому что у них одинаковое основание. Важно сохранить положительность каждого аргумента: одного условия, что их произведение положительно, здесь недостаточно. После потенцирования получится квадратное уравнение.

1. ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 2 > 0. Вместе эти условия дают x > 1.
2. Объединяем логарифмы: log₂((x − 1)(x + 2)) = 2. По определению логарифма получаем (x − 1)(x + 2) = 2².
3. Раскрываем скобки: x² + x − 2 = 4, то есть x² + x − 6 = 0.
4. Разложим на множители: (x + 3)(x − 2) = 0. Возможные корни — x = −3 и x = 2.
5. По ОДЗ x > 1, поэтому −3 не подходит, а 2 подходит. Подстановка x = 2 в исходное уравнение также даёт log₂1 + log₂4 = 0 + 2 = 2.

Ответ: 2.

Типичные ошибки

Потенцировать, не записав ОДЗ, — значит не проверить, существовали ли исходные логарифмы при найденных значениях. Так поступают, когда сосредотачиваются на вычислениях и воспринимают переход к уравнению без логарифмов как полную замену исходной задачи. Проверка: перед преобразованиями выпиши условия на каждый аргумент и сверь с ними все корни.

Приравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями напрямую нельзя. Это правило относится к логарифмам с одним и тем же основанием, поэтому можно ошибиться, заметив одинаковую форму записи и не сравнив основания. Проверь индексы у log: если основания различны, сначала требуется другое обоснованное преобразование.

Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице, особенно если оно содержит неизвестную. Условие иногда упускают, потому что чаще встречаются постоянные основания 2, 3 или 10, которые уже допустимы. Если основание зависит от x, отдельно запиши неравенства a(x) > 0 и a(x) ≠ 1.

После объединения логарифмов нельзя забывать положительность каждого исходного аргумента. Произведение может быть положительным и тогда, когда оба множителя отрицательны, хотя такие логарифмы не определены. Проверяй себя: в ОДЗ должны остаться условия f(x) > 0 и g(x) > 0, а не только f(x)g(x) > 0.

Связь с другими темами

Для потенцирования нужны определение логарифма, его ОДЗ и основные свойства логарифмов. Обоснование перехода связано со свойствами показательной функции: при допустимом основании её значения положительны, и каждое такое значение достигается ровно один раз. После потенцирования часто приходится решать алгебраическое или показательное уравнение. Этот приём пригодится и в более сложных логарифмических уравнениях и системах, где нужно сочетать преобразования с проверкой условий.

Что запомнить

• logₐ f(x) = g(x) переходит в f(x) = a^g(x).
• Для логарифма необходимо a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0.
• Логарифмы с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы.
• При потенцировании всегда сохраняют ОДЗ исходного уравнения.
• Корни преобразованного уравнения проверяют в исходном уравнении или по записанной ОДЗ.
• Сумму или разность логарифмов объединяют только после проверки условий применимости свойств.