8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Определения и обозначения

Уравнение-следствие — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения; обратное может быть неверно. Иными словами, множество решений исходного уравнения входит в множество решений нового. Это понятие помогает отличать безопасный переход от преобразования, которое сохраняет все решения, но может дать лишние.

Преобразование, приводящее к уравнению-следствию, — действие над уравнением, при котором исходные корни сохраняются, но могут появиться новые. Так можно получить более удобное уравнение и найти кандидатов в решения. После этого потребуется отдельная проверка, потому что преобразование не обязательно сохраняет равносильность.

Посторонний корень — корень полученного уравнения, не удовлетворяющий исходному. Он появился из-за того, что преобразование допустило больше значений, чем исходное условие. Если не отличить такой корень от подходящего, ответ окажется неверным.

Проверка корней — подстановка найденных значений в исходное уравнение для отсева посторонних корней. Подставлять нужно именно в первоначальную запись, а не только в промежуточное уравнение. Одновременно проверяют, входит ли значение в область допустимых значений исходного уравнения.

Как это устроено

При равносильном преобразовании корни до и после перехода совпадают: любой корень первого уравнения подходит второму и наоборот. При переходе к уравнению-следствию гарантируется только одно направление — исходные решения не теряются. Обратный переход может не сработать, поэтому новое уравнение иногда имеет более широкое множество корней. Именно поэтому его решения рассматривают как кандидатов, а не как готовый ответ.

Если возвести обе части равенства в чётную степень, равные выражения останутся равными после возведения, значит, исходные корни сохранятся. Но обратное неверно: например, 3² = (−3)², хотя 3 ≠ −3. После возведения в квадрат уравнение может допустить случаи, когда выражения в исходной записи имеют разные знаки. Чтобы избежать лишних кандидатов, полезно заранее установить знак частей, а найденные значения всё равно проверить в исходном уравнении.

При умножении обеих частей на выражение f(x) равенство сохраняется для каждого решения исходного уравнения. Однако если f(x) = 0, произведения слева и справа могут стать равными нулю независимо от того, были ли равны исходные части. Поэтому значения, обращающие множитель в ноль, проверяют отдельно. Если же на всей рассматриваемой области заранее известно, что f(x) ≠ 0, умножение на него не создаёт такой причины для появления новых корней и переход можно обратить делением.

Применение одной и той же функции к обеим частям тоже сохраняет исходные равенства: из A = B следует f(A) = f(B). Но для обратного вывода функция должна различать аргументы. Если разные числа дают одинаковое значение, равенство f(A) = f(B) может выполняться при A ≠ B, и новое уравнение станет следствием исходного. Например, синус периодичен и принимает одни и те же значения при разных аргументах; поэтому после применения синуса нужно учитывать ограничения аргументов или проверять кандидатов.

Общий порядок решения такой: сначала выполнить преобразование и решить получившееся уравнение, затем проверить все найденные значения в исходной записи. Причина проверки — возможное расширение множества корней при переходе. При подстановке учитывают и область допустимых значений, то есть значения переменной, при которых исходные выражения имеют смысл. В ответ включают только кандидатов, которые удовлетворяют исходному уравнению и его ограничениям.

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Сначала определите, какое действие выполнено и при каких значениях оно обратимо. Затем найдите возможный источник добавочных корней — разные знаки, нули множителя или одинаковые значения функции. Последний столбец подсказывает, что именно нужно проверить перед записью ответа.

Разбор задач

Решить уравнение √(x + 1) = x − 1. Под корнем должно стоять неотрицательное число, а левая часть всегда неотрицательна. Поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. После этого можно возвести обе части в квадрат, но результаты всё равно предстоит проверить.

1. ОДЗ даёт x + 1 ≥ 0, а знак левой части требует x − 1 ≥ 0. Совместно получаем x ≥ 1.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)², откуда x + 1 = x² − 2x + 1.
3. Переносим всё в одну часть: x² − 3x = 0, то есть x(x − 3) = 0. Кандидаты: x = 0 и x = 3.
4. Условию x ≥ 1 не подходит x = 0. При x = 3 исходное равенство верно: √4 = 2, а 3 − 1 = 2.

Возведение в квадрат дало кандидатов, но знак правой части помог сразу отсеять значение, несовместимое с исходной записью. Проверка в исходном уравнении подтверждает оставшийся корень, не полагаясь только на преобразованное равенство. Ответ: x = 3.

Рассмотрим уравнение (x − 2)(x + 1) = 0, полученное умножением исходного уравнения на x − 2. По свойству произведения его кандидаты — x = 2 и x = −1. Но само исходное уравнение здесь не задано, поэтому нельзя без проверки утверждать, что оба значения подходят: особенно подозрителен нуль множителя x − 2.

1. Приравниваем множители к нулю и получаем x = 2 или x = −1.
2. Проверяем множитель: при x = 2 он равен нулю. Значит, это значение могло появиться только из-за умножения, и его обязательно подставляют в исходное уравнение.
3. Значение x = −1 также подставляют в исходное уравнение: оно было решением произведения после умножения, но окончательный вывод зависит от исходной записи.
4. Оставляем только те значения, при которых исходное уравнение определено и верно. Без его записи числовой ответ определить нельзя.

Идея этого примера — не объявлять нуль множителя корнем автоматически: он является лишь кандидатом, пока не проверен. Если множитель заведомо не обращается в ноль на допустимой области, такой дополнительной проверки именно для его нулей не требуется. Ответ по имеющимся данным: кандидаты x = 2 и x = −1; окончательный набор корней устанавливается подстановкой в исходное уравнение.

Наконец, рассмотрим sin x = ½ на заданном промежутке после преобразования обеих частей с использованием синуса. Промежуток в условии не указан, поэтому запишем общий вид решений и правило отбора. Синус не взаимно однозначен на всей числовой прямой: один уровень может достигаться при разных x, так что обратный переход требует осторожности.

1. Решаем полученное уравнение sin x = ½ на всей прямой: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
2. Оставляем из этих значений только те, которые лежат в заданном промежутке. Для этого подставляют целые k и проверяют границы промежутка.
3. Если равенство с синусом возникло из преобразования другого исходного уравнения, каждый оставшийся кандидат проверяют в исходной записи. Само равенство sin x = ½ не сообщает, какое было исходное уравнение, поэтому такая проверка зависит от него.

При решении на конкретном отрезке ответом будут только значения общего решения, попавшие на этот отрезок и удовлетворяющие исходному уравнению. Если синус использовали на всей прямой, нельзя считать преобразование обратимым без дополнительного обоснования. Ответ в общем виде: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z, с отбором по промежутку и проверкой исходного уравнения.

Типичные ошибки

Ошибка — считать возведение в квадрат равносильным преобразованием. Её допускают, потому что равные числа действительно имеют равные квадраты, но забывают, что одинаковые квадраты бывают и у противоположных чисел. После возведения проверьте знаки выражений и подставьте кандидатов в исходное уравнение.

Ошибка — умножить на выражение с переменной и не рассмотреть его нули. При нулевом множителе полученное равенство может обратиться в верное независимо от исходного, поэтому такой кандидат легко принять за корень. Перед умножением решите уравнение «множитель = 0», а найденные значения проверьте в исходной записи.

Ошибка — применять одну и ту же функцию к обеим частям и считать переход обратимым. Причина в том, что некоторые функции, например синус, принимают одинаковые значения при разных аргументах. Спросите себя, однозначно ли функция восстанавливает аргумент на рассматриваемой области; если нет, проверьте решения в исходном уравнении.

Ошибка — оставить все корни уравнения-следствия в ответе без проверки. Так происходит, когда вычисленное уравнение принимают за исходное и забывают о возможных добавочных решениях. Подставьте каждый кандидат в первоначальную запись и убедитесь, что значение допустимо и равенство выполняется.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия корня уравнения и равносильных уравнений, а также навык проверки подстановкой. Идея уравнения-следствия особенно полезна при решении иррациональных, показательных и логарифмических уравнений: там преобразования часто меняют множество кандидатов. Связь с ОДЗ помогает вовремя исключить значения, при которых исходное выражение не определено. Поэтому при решении важно следить и за алгебраическими преобразованиями, и за допустимостью переменной.

Что запомнить

• Из исходного уравнения-следствия исходные корни не теряются.
• Уравнение-следствие может иметь дополнительные корни.
• Возведение обеих частей в чётную степень может нарушить равносильность.
• При умножении на выражение с переменной нужно проверить его нули.
• Корни уравнения-следствия проверяют в исходном уравнении.
• Проверка должна учитывать область допустимых значений исходного уравнения.