"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
При решении уравнений некоторые преобразования сохраняют все корни, а другие могут добавить лишние. Получившееся уравнение называют уравнением-следствием исходного: его корни нужно проверить. В теме разбираются такие преобразования, условия их применения и способы заранее учесть область допустимых значений и знаки выражений. Это помогает решать сложные уравнения и не включать в ответ значения, которые не подходят исходному уравнению.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение-следствие — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения, но у него могут быть дополнительные корни. Оно появляется, когда преобразование сохраняет решения исходного уравнения, однако допускает новые значения. Понимание этого свойства подсказывает, когда после решения нужна проверка.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Их можно заменять друг на друга без изменения ответа, если соблюдены условия преобразования. Это понятие помогает отличить безопасный шаг от того, который требует осторожности.
Посторонний корень — корень уравнения-следствия, который не удовлетворяет исходному уравнению. Он может возникнуть, например, после возведения обеих частей в квадрат. Такой корень нельзя включать в ответ, поэтому его отбрасывают проверкой.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых имеют смысл все выражения исходного уравнения. Например, подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым. ОДЗ ограничивает поиск и позволяет сразу исключить невозможные значения.
Некоторые действия обратимы: если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же определённое выражение, равенство можно восстановить вычитанием. Поэтому множество решений не меняется. Но при делении на выражение с переменной обратимость есть только там, где это выражение не равно нулю: забытый нулевой случай способен привести к потере корня.
Решение часто состоит из нескольких шагов, и каждый шаг создаёт новое уравнение. Если все переходы равносильны, то и начальное, и конечное уравнения имеют один набор корней; если хотя бы один переход даёт только следствие, конечное уравнение может иметь лишние решения. Именно поэтому нельзя оценивать всю цепочку одним правилом: нужно проверять условия каждого преобразования отдельно.
При возведении в квадрат равенство A = B влечёт A² = B², но обратное утверждение неверно: из A² = B² следует A = B или A = −B. Так исходное равенство может превратиться в более слабое условие, которому удовлетворяют дополнительные значения. Если заранее известно, что обе части неотрицательны, равенство квадратов уже означает равенство самих частей.
ОДЗ и сведения о знаках помогают не допустить лишних случаев ещё до вычислений. Например, в равенстве √A = B необходимо A ≥ 0, а также B ≥ 0, поскольку квадратный корень неотрицателен. Если перед возведением в квадрат установить эти ограничения, можно обосновать обратный переход; если знак неизвестен, преобразование рассматривают как переход к следствию.
Проверка в исходном уравнении нужна потому, что последующие преобразования могли ослабить условия или изменить допустимые значения. Подстановка показывает, определены ли обе части и действительно ли они равны. Проверять только последнее уравнение недостаточно: оно подтверждает лишь то, что число является его корнем, а не корнем исходного уравнения.
| Преобразование | Условие применения | Что получается | Нужна ли проверка |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же выражения | Выражения определены при рассматриваемых значениях переменной | Равносильное уравнение | Нет, если ограничения учтены |
| Умножение или деление на выражение | Множитель или делитель ненулевой; нули необходимо исключить | Равносильное уравнение при соблюдении условия | Да, если выражение зависит от переменной |
| Возведение в нечётную степень | Обе части определены | Равносильное уравнение | Обычно нет |
| Возведение в чётную степень | Обе части определены | Уравнение-следствие, возможны посторонние корни | Да |
| Логарифмирование, потенцирование или применение другой функции | Учитываются область определения и обратимость преобразования | Равносильное уравнение или уравнение-следствие — в зависимости от условий | Обязательна при наличии ограничений |
Пользуйтесь таблицей как проверкой каждого шага: сначала установите, определены ли выражения, затем выясните, обратимо ли действие. Если оно может добавить корни или исключить значения, отдельно разберите эти случаи. ОДЗ исходного уравнения действует на всех этапах решения.
Решим уравнение √(x + 1) = x − 1. Сначала важно учесть не только подкоренное выражение, но и знак правой части: квадратный корень не бывает отрицательным. После этого можно возвести обе части в квадрат и получить уравнение-следствие. В конце проверим кандидатов в исходном равенстве.
Из √(x + 1) следует x + 1 ≥ 0, а равенство с правой частью требует x − 1 ≥ 0. Вместе получаем ОДЗ для корней уравнения: x ≥ 1.
Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)². Раскрываем скобки: x + 1 = x² − 2x + 1, откуда x² − 3x = 0.
Разложим на множители: x(x − 3) = 0. Кандидаты — x = 0 и x = 3; условию x ≥ 1 удовлетворяет только x = 3.
Проверим в исходном уравнении: √(3 + 1) = 2 и 3 − 1 = 2. Равенство верно, значит, x = 3 — корень исходного уравнения.
Ответ: x = 3.
Теперь решим √(x + 2) + √(x − 1) = 3. ОДЗ даёт x ≥ 1. Изолируем один корень; перед квадратом проверим, что правая часть неотрицательна. Второе возведение в квадрат может дать лишние значения, поэтому итог сверим с исходным равенством.
Переносим √(x − 1) вправо: √(x + 2) = 3 − √(x − 1). Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной, то есть √(x − 1) ≤ 3; вместе с ОДЗ это даёт 1 ≤ x ≤ 10.
Возводим в квадрат: x + 2 = 9 − 6√(x − 1) + x − 1. Сокращаем x и переносим слагаемые: 6√(x − 1) = 6, поэтому √(x − 1) = 1.
Получаем x − 1 = 1, то есть x = 2. Проверка: √4 + √1 = 2 + 1 = 3, равенство верно.
Ответ: x = 2.
Решим √(x + 1) = 4/(x − 1). Здесь важно совместить ОДЗ корня и запрет нулевого знаменателя со знаком дроби. После этого умножение на знаменатель безопасно, а квадрат приведёт к кубическому уравнению-следствию. Его корни всё равно нужно проверить подстановкой.
Требуется x + 1 ≥ 0 и x ≠ 1. Левая часть неотрицательна, значит, дробь справа тоже должна быть положительна; с числителем 4 это возможно при x > 1.
Умножаем на ненулевой x − 1: (x − 1)√(x + 1) = 4. Возводим в квадрат: (x − 1)²(x + 1) = 16.
Раскрываем скобки: x³ − x² − x + 1 = 16, откуда x³ − x² − x − 15 = 0. Разложение даёт (x − 3)(x² + 2x + 5) = 0; у квадратного множителя дискриминант отрицателен, поэтому единственный действительный корень — 3.
Число 3 удовлетворяет условию x > 1. В исходном уравнении √4 = 2 и 4/(3 − 1) = 2, значит, корень подходит.
Ответ: x = 3.
Считать возведение в квадрат равносильным. Так происходит, потому что преобразование кажется одинаковым для обеих частей, но оно стирает информацию о знаке. В результате в ответ попадают значения, удовлетворяющие только равенству квадратов. Проверяйте знак частей и подставляйте кандидатов в исходное уравнение.
Умножать на выражение с переменной, не проверив его нули. Умножение на ноль может скрыть исходное равенство, а деление на выражение, равное нулю, вообще недопустимо. Ошибка возникает, когда множитель считают обычным числом, не зависящим от x. Перед таким шагом найдите нули выражения и рассмотрите их отдельно.
Начинать решение без ОДЗ. Тогда можно работать с числами, при которых корень или дробь из исходного уравнения не определены. Ограничения легко упустить среди нескольких преобразований. Выпишите их до решения и сверяйте с ними все полученные кандидаты.
Проверять только последнее уравнение. Его корни по определению удовлетворяют последнему равенству, но могли появиться после перехода к следствию. Ошибка возникает из-за смешения корней цепочки с корнями исходного уравнения. Завершайте решение подстановкой каждого кандидата в первоначальное условие.
Для этой темы нужны равносильные преобразования, умение находить ОДЗ, свойства квадратного корня и правила работы с дробно-рациональными выражениями. Эти знания помогают решать иррациональные, рациональные, показательные и логарифмические уравнения: в каждом случае важно следить за допустимостью действий. Позже те же приёмы пригодятся при исследовании уравнений с параметрами и составлении алгоритмов решения сложных задач.
Почему после возведения уравнения в квадрат появляются посторонние корни?
При возведении в квадрат теряется информация о знаке: числа 2 и −2 имеют одинаковый квадрат. Поэтому квадратное уравнение может выполняться, хотя исходные части уравнения не равны. Найденные значения нужно проверить в исходном уравнении.
Всегда ли нужно проверять корни после преобразований?
Если каждое преобразование равносильно и все ограничения учтены, отдельная проверка может быть не нужна. Но после возведения в чётную степень или другого шага, который способен добавить корни, проверка обязательна. Безопаснее подставить ответ в исходное уравнение.
Как правильно найти ОДЗ перед решением уравнения?
Проверьте каждое выражение исходного уравнения: подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным, знаменатель — ненулевым, аргумент логарифма — положительным. Объедините все полученные ограничения. При необходимости отдельно учтите знаки частей уравнения.
Можно ли умножать обе части уравнения на выражение с переменной?
Можно, если выражение определено и не равно нулю на рассматриваемых значениях. Если оно может обращаться в ноль, этот случай нужно проверить отдельно или исключить перед делением. Иначе можно потерять корни или получить значения, не подходящие исходному уравнению.
Чем уравнение-следствие отличается от равносильного уравнения?
У уравнения-следствия каждый корень исходного уравнения сохраняется, но могут появиться дополнительные корни. Равносильные уравнения имеют одно и то же множество корней. Поэтому после решения уравнения-следствия проверяют найденные значения.
8.5. Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию
