"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Уравнение f(α(x)) = f(β(x)) сравнивает значения одной и той же функции от двух выражений с переменной. Такие записи встречаются в показательных и тригонометрических уравнениях. Главный шаг — выяснить, при каких условиях функция принимает одинаковые значения: если она инъективна, достаточно приравнять аргументы; если нет, нужно учесть чётность, периодичность или другие свойства. После этого решают полученные уравнения и проверяют корни с учётом области допустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение вида f(α(x)) = f(β(x)) — это уравнение, в котором одна и та же функция применяется к двум выражениям с переменной. Здесь α(x) и β(x) называют аргументами функции. Такая запись помогает увидеть, что равенство значений зависит от свойств f, а не только от самих выражений.
Инъективная функция — функция, для которой из f(u) = f(v) следует u = v. Иными словами, разные аргументы не могут дать одинаковое значение. Это свойство позволяет заменить равенство значений равенством аргументов и тем самым упростить уравнение.
Период функции — ненулевое число T, при сдвиге на которое значения повторяются: f(x + T) = f(x), если оба значения определены. Поэтому равные значения периодической функции могут соответствовать аргументам, отличающимся на целое число периодов. Это нужно учитывать, например, при решении тригонометрических уравнений.
Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x). Значит, противоположные аргументы дают одинаковые значения, даже если сами аргументы не равны. При решении уравнения с чётной функцией поэтому проверяют и равенство аргументов, и их противоположность.
Сначала нужно установить, при каких x определены оба выражения f(α(x)) и f(β(x)). Эти ограничения составляют область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Такой шаг необходим, потому что преобразование может привести к значениям, при которых исходная функция не существует; их нельзя считать решениями.
Затем выясняют, инъективна ли f на тех значениях, которые могут принимать α(x) и β(x). Если да, из f(α(x)) = f(β(x)) следует α(x) = β(x), и исходное уравнение заменяется более простым. Проверять свойства нужно именно на рассматриваемой области: функция может быть инъективной на одном промежутке, но не быть ею на всей области определения.
Если f не инъективна, равенство аргументов остаётся возможным случаем, но уже не описывает все решения. Разные аргументы могут давать одно и то же значение, поэтому нужно использовать конкретные свойства функции или известное условие равенства её значений. Иначе часть корней будет потеряна ещё до решения полученного уравнения.
Для чётной функции f(u) = f(v) может выполняться при u = v или u = −v. Поэтому отдельно решают α(x) = β(x) и α(x) = −β(x), а затем объединяют корни. Эти два случая могут пересекаться, например при нулевых аргументах, поэтому повторяющиеся значения в ответе записывают только один раз.
У периодической функции значения повторяются через период T. Если функция принимает одинаковые значения только при аргументах, отличающихся на целое число периодов, составляют уравнения α(x) = β(x) + kT, где k ∈ Z. Каждое из них решают с учётом ОДЗ; затем оставляют допустимые корни и объединяют их, не забывая проверить все возможные целые k.
| Свойство функции f | Какие случаи рассмотреть | Уравнение для аргументов |
|---|---|---|
| Инъективность на рассматриваемой области | Только равенство аргументов | α(x) = β(x) |
| Чётность | Равенство и противоположность аргументов | α(x) = β(x); α(x) = −β(x) |
| Периодичность | Разность аргументов — целое число периодов | α(x) = β(x) + kT, k ∈ Z |
| Несколько свойств или отсутствие простого свойства | Все случаи, следующие из условий f(u) = f(v) | Зависит от функции и её области |
Сначала найди свойство функции и проверь, на какой области оно действует. Затем выпиши все соответствующие уравнения для аргументов и реши их. Таблица задаёт порядок действий, но не заменяет проверку ОДЗ и промежутка.
Задача 1. Решить уравнение 3x − 1 = x + 5, представленное в виде exp(3x − 1) = exp(x + 5). Показательная функция exp(t) = eᵗ строго возрастает, значит, она инъективна. Поэтому можно приравнять аргументы и решить линейное уравнение.
Ответ: x = 3. Здесь важно, что равенство аргументов разрешено именно благодаря инъективности показательной функции. Если бы функция не была инъективной, этого шага могло бы быть недостаточно.
Задача 2. Решить cos(x²) = cos(2x) на отрезке [−2; 2]. Для косинуса равенство значений означает, что аргументы отличаются на 2πk или дают противоположные углы с точностью до периода: A = 2πk + B либо A = 2πk − B. Обозначим A = x², B = 2x и рассмотрим обе серии.
Ответ: −2; 0; 2; 1 − √(1 + 2π); −1 + √(1 + 2π). Проверка диапазона целого k нужна, чтобы не пропустить решения и не перебирать бесконечное число уравнений. В конце учитываем именно заданный отрезок, а не только корни вспомогательных уравнений.
Задача 3. Решить sin(2x + 1) = sin(x²) на промежутке [0; 4]. Для синуса равенство значений возникает в двух сериях: аргументы отличаются на 2πk либо их сумма равна π с точностью до 2πk. Обе серии нужно рассмотреть, потому что синус не инъективен.
Ответ: 1 + √2; 1 + √(2 + 2π); −1 + √π; −1 + √(3π); −1 + √(5π); −1 + √(7π). Целое k выбирается не наугад: его значения ограничиваются требованием, чтобы корень попал в [0; 4]. Именно отбор по промежутку завершает решение.
Приравнивают аргументы, не проверив инъективность. Это кажется естественным, потому что при инъективной функции такой переход действительно работает. Но у функции могут быть одинаковые значения при разных аргументах, и тогда часть решений исчезнет. Перед преобразованием запиши, почему f инъективна на нужной области, или перечисли все случаи равенства её значений.
Для чётной функции учитывают только равные аргументы. Обычно сначала замечают самый простой случай α(x) = β(x), а свойство f(−u) = f(u) упускают. Тогда теряются корни, получаемые из α(x) = −β(x). Проверь себя: выписаны ли оба уравнения и проверены ли их корни в исходном равенстве?
Для периодической функции берут только одно значение целого параметра. Параметр k может показаться формальностью, хотя разные его значения дают разные серии корней. Ограничь возможные k с помощью области аргументов или заданного промежутка, а затем проверь все целые значения в этих границах. Если ограничения нет, нельзя без обоснования оставлять только k = 0.
Не проверяют ОДЗ и границы промежутка. Решение вспомогательного уравнения ещё не гарантирует, что его корень подходит исходной задаче. Ошибку часто допускают после длинных вычислений или при работе с целым параметром. В конце подставь корни в исходное уравнение и отдельно проверь, что они допустимы и принадлежат заданному промежутку.
Для этой темы нужны навыки нахождения области определения сложной функции: ограничения могут задаваться внешней функцией и выражениями внутри неё. Также пригодится решение уравнений, в которых появляется целый параметр k — например, число периодов. Понимание инъективности связывает тему с исследованием свойств функций, а разбор равенств синусов и косинусов — с тригонометрическими уравнениями. Эти приёмы применяются и в показательных уравнениях, и в уравнениях со сложными функциями.
Когда в уравнении f(α(x)) = f(β(x)) можно сразу приравнять аргументы?
Когда функция f инъективна на области значений выражений α(x) и β(x). Тогда одинаковые значения функции возможны только при равных аргументах, поэтому уравнение равносильно α(x) = β(x).
Почему равенство аргументов не всегда даёт все решения?
Неинъективная функция может принимать одинаковое значение при разных аргументах. Например, для чётной функции f(u) = f(−u), поэтому кроме равенства аргументов нужно проверять и другие случаи.
Какие случаи нужно рассмотреть для чётной функции?
Из равенства f(u) = f(v) для чётной функции следует рассмотреть u = v и u = −v. Каждый случай записывают как отдельное уравнение, а затем проверяют его корни.
Как учесть периодичность функции при решении уравнения?
Если T — период функции, одинаковые значения могут получаться при аргументах, отличающихся на kT, где k — целое число. Нужно составить уравнения для целых k, найти допустимые значения параметра и отобрать корни по области определения.
Нужно ли проверять найденные корни в исходном уравнении?
Да. Проверка помогает исключить значения, не входящие в область допустимых значений или заданный промежуток, и обнаружить ошибки при преобразованиях. В конце убедись, что каждый оставшийся корень обращает исходное уравнение в верное равенство.
9.4. Уравнения вида f(a (х)) = f (?(х))
