"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система помогает решить неравенство, разложенное на несколько условий: все неравенства системы должны выполняться одновременно. Поэтому её решение находят пересечением промежутков. Если возможны разные варианты знаков множителей, составляют совокупность систем и объединяют полученные ответы. Метод особенно удобен для произведений и дробей: он показывает, какие знаки должны иметь числитель, знаменатель и отдельные множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система неравенств — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Её решение является пересечением решений отдельных неравенств. Это нужно, чтобы отобрать только те значения переменной, которые подходят каждому условию сразу.
Равносильная система — система, имеющая то же множество решений, что и исходное неравенство. При переходе к ней исходные решения не теряются и не добавляются. Такая замена позволяет превратить сложное условие в несколько простых неравенств.
Совокупность систем — несколько систем, из которых достаточно выполнить хотя бы одну. Её решение является объединением решений этих систем. Совокупность появляется, когда одно неравенство допускает разные варианты, например два способа получить положительное произведение.
Метод решения с помощью систем — переход от исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем, удобной для решения. Сначала устанавливают возможные знаки множителей, затем решают получившиеся линейные неравенства. После этого правильно объединяют найденные промежутки.
Знак произведения двух выражений определяется знаками множителей: при одинаковых знаках произведение положительно, а при разных — отрицательно. Действительно, умножение двух положительных чисел даёт положительный результат, и произведение двух отрицательных тоже положительно из-за двойной смены знака. Если один множитель положителен, а другой отрицателен, результат отрицателен.
Условие положительности произведения записывают как совокупность двух систем: a > 0 и b > 0 либо a < 0 и b < 0. Внутри каждой системы знаки заданы одновременно, поэтому используется связка «и». Два варианта соединяют связкой «или», так как для положительного произведения достаточно любого из них.
Для отрицательного произведения составляют системы с противоположными знаками множителей: a > 0, b < 0 либо a < 0, b > 0. Именно такая комбинация даёт отрицательный результат при умножении. Решения двух систем затем объединяют, потому что это альтернативные случаи, а не одновременные требования.
В неравенстве с дробью отдельно рассматривают знак числителя и знаменателя. Одинаковые знаки дают положительную дробь, разные — отрицательную, но знаменатель при этом не может быть равен нулю. Поэтому ограничение b ≠ 0 записывают обязательно и проверяют его после решения систем.
После решения отдельных неравенств в одной системе находят пересечение промежутков. Например, если одно условие даёт x > 2, а другое x < 5, вместе они дают 2 < x < 5. Между решениями разных систем находят объединение, поскольку достаточно выполнения одного варианта.
| Условие | Условия на множители | Как объединять решения |
|---|---|---|
| Произведение ab > 0 | a > 0, b > 0 или a < 0, b < 0 | В каждой системе пересечение, между системами объединение |
| Произведение ab < 0 | a > 0, b < 0 или a < 0, b > 0 | В каждой системе пересечение, между системами объединение |
| Произведение ab ≥ 0 | a ≥ 0, b ≥ 0 или a ≤ 0, b ≤ 0 | Включить нули и объединить решения двух систем |
| Дробь a/b > 0, b ≠ 0 | a > 0, b > 0 или a < 0, b < 0; b ≠ 0 | Пересечения объединить, значения b = 0 исключить |
| Дробь a/b < 0, b ≠ 0 | a > 0, b < 0 или a < 0, b > 0; b ≠ 0 | Пересечения объединить, значения b = 0 исключить |
Сначала определите строку, соответствующую знаку исходного выражения, а затем выпишите две возможные системы. В каждой системе решайте условия одновременно, а найденные промежутки объединяйте только после завершения обеих ветвей.
Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки. Поэтому нужно рассмотреть два случая и в каждом найти общую часть решений.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
Здесь произведение должно быть отрицательным или равным нулю. Рассмотрим противоположные знаки множителей, а затем отдельно учтём их нули.
Ответ: [−½; 3].
Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки либо числитель равен нулю. При этом x = 1 сразу исключается, потому что знаменатель обращается в нуль.
Ответ: (−∞; −2] ∪ (1; +∞).
Частая ошибка — записать условия на множители одной системой вместо совокупности случаев. Например, для положительного произведения требуют, чтобы один множитель был одновременно положительным и отрицательным, и теряют решения. Проверьте себя вопросом: возможны ли два разных варианта знаков, и объединены ли они словом «или»?
Иногда внутри одной системы промежутки объединяют, хотя оба условия должны выполняться одновременно. Так появляются лишние значения, подходящие только одному неравенству. Нужно сначала найти общую часть промежутков и лишь затем переходить к следующей системе.
При работе с дробью забывают ограничение на знаменатель. Тогда в ответ может попасть точка, где исходное выражение не существует. Найдите корни знаменателя в начале решения и вычеркните их из окончательного множества.
При нестрогом неравенстве неправильно обращаются с нулями множителей. Для знака ≥ или ≤ нуль произведения обычно допустим, но нуль знаменателя недопустим всегда. Подставьте спорную точку в исходное выражение и проверьте, определено ли оно и выполняется ли нужный знак.
До этой темы нужно уметь решать линейные неравенства и работать с пересечением и объединением промежутков. Метод основан на правиле знаков произведения и дроби, поэтому связан с разложением выражений на множители. Он пригодится при решении рациональных неравенств и других задач, которые можно свести к произведению или дроби.
Чем система неравенств отличается от совокупности систем?
В системе все условия должны выполняться одновременно, поэтому решения пересекаются. В совокупности достаточно выполнить хотя бы одну систему, поэтому решения объединяются.
Почему при решении системы берут пересечение промежутков?
Каждое неравенство системы накладывает своё ограничение на x. Подходит только значение, которое удовлетворяет всем ограничениям сразу, то есть принадлежит каждому промежутку.
Как составить системы для условия, что произведение положительно?
Множители должны иметь одинаковые знаки: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Поэтому записывают две системы и объединяют их решения.
Нужно ли включать нули множителей в ответ?
Это зависит от знака неравенства. При ≥ или ≤ нуль произведения обычно включают, а при > или < исключают, поскольку строгие неравенства требуют положительного или отрицательного значения.
Почему нули знаменателя нельзя включать в решение дробного неравенства?
При нулевом знаменателе дробь не определена: деление на нуль невозможно. Поэтому такие значения исключают из ответа даже при нестрогом знаке.
9.5. Решение неравенств с помощью систем
