"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сложное неравенство часто можно заменить несколькими более простыми условиями. Если условия должны выполняться одновременно, их объединяют в систему и пересекают решения; если возможны разные случаи, составляют совокупность и объединяют полученные множества. При преобразованиях нужно сохранять область допустимых значений (ОДЗ), следить за знаками множителей и проверять границы. Эти правила помогают решать произведения, дроби и неравенства с корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система неравенств — набор неравенств с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Её решение — пересечение решений отдельных неравенств, то есть значения, подходящие каждому условию сразу. Система нужна, когда исходное требование распадается на несколько ограничений, действующих вместе.
Совокупность неравенств — набор условий, в котором достаточно выполнить хотя бы одно. Её решение — объединение решений отдельных неравенств: подходят значения из любого случая. Совокупностью удобно описывать альтернативы, например две разные возможности получить положительное произведение.
Равносильная система — система, множество решений которой совпадает с множеством решений исходного неравенства на рассматриваемой области. При переходе к ней нельзя ни потерять допустимые значения, ни добавить неподходящие. Это понятие помогает контролировать каждый шаг преобразования.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменных, при которых выражения исходного неравенства определены. Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. ОДЗ нужно учитывать на протяжении решения, чтобы итоговые значения имели смысл в исходном условии.
Сложное неравенство преобразуют к более простым условиям, но следят, чтобы множество решений не изменилось. Сначала находят ОДЗ: деление на ноль или корень из отрицательного числа недопустимы в исходном выражении. Затем применяют преобразования, равносильные исходным при этих ограничениях. Если шаг равносилен не всегда, нужное условие записывают отдельно и проверяют результат в исходном неравенстве.
Различие между системой и совокупностью связано с логикой исходного требования. Если два ограничения должны действовать вместе, значение обязано удовлетворять обоим, поэтому используют систему. Если задача допускает один из нескольких вариантов, достаточно попасть хотя бы в один из них, и решение записывают как объединение случаев. Перепутав эти операции, можно либо потерять ответы, либо включить лишние значения.
Когда выражение разложено на множители, его знак зависит от знаков всех множителей. Например, произведение двух выражений положительно, если они оба положительны или оба отрицательны. Это два альтернативных случая, каждый из которых становится системой: внутри случая знаки должны выполняться одновременно. Для дроби также учитывают знак знаменателя, который при этом не может быть нулём.
Каждую систему решают отдельно: находят промежутки, подходящие каждому неравенству, а затем пересекают их. На числовой прямой пересечение — общая часть промежутков; если общей части нет, у системы нет решений. Такой порядок повторяют для каждого альтернативного случая. Он позволяет не смешивать совместные ограничения с вариантами, из которых выбирают один.
В конце объединяют ответы отдельных случаев и сверяют их с ОДЗ исходного неравенства. Границу включают только тогда, когда она разрешена знаком неравенства и удовлетворяет исходному условию. При строгом знаке равенство границе не подходит, а при нестрогом его нужно проверить; нули знаменателя исключают в любом случае. Проверка исходных условий особенно полезна после возведения в квадрат, которое может добавить посторонние решения.
| Структура условий | Что означает | Как получить итоговое множество |
|---|---|---|
| Условия выполняются одновременно | Система неравенств | Пересечь решения всех неравенств |
| Достаточно одного из условий | Совокупность случаев | Объединить решения случаев |
| Есть ограничения на выражения | ОДЗ исходного неравенства | Пересечь итог с областью допустимых значений |
| Строгое неравенство | Граничное значение не входит в решение | Исключить соответствующую граничную точку |
| Нестрогое неравенство | Граничное значение может входить в решение | Включить точку, если она удовлетворяет исходному условию |
Сначала определите, связаны ли условия союзом «и» или «или»: от этого зависит пересечение или объединение. Затем отдельно проверьте ограничения ОДЗ и граничные точки. Таблица помогает не перепутать эти действия при записи ответа.
Решим неравенство (x − 2)(x + 1) > 0. Произведение положительно, если оба множителя положительны либо оба отрицательны. Это альтернативные случаи, поэтому решения двух систем нужно объединить. Корни множителей −1 и 2 не входят в ответ, поскольку неравенство строгое.
Первый случай: x − 2 > 0 и x + 1 > 0. Получаем x > 2 и x > −1, их пересечение — x > 2.
Второй случай: x − 2 < 0 и x + 1 < 0. Получаем x < 2 и x < −1, пересечение — x < −1.
Объединяем случаи: ответ — (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
Решим (x − 3)/(x + 2) ≤ 0. Сначала знаменатель ограничивает ОДЗ: x ≠ −2. Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю при ненулевом знаменателе. Значит, рассматриваем два сочетания знаков, а затем объединяем допустимые результаты.
Случай x − 3 ≤ 0 и x + 2 > 0 даёт x ≤ 3 и x > −2. Пересечение — (−2; 3].
Случай x − 3 ≥ 0 и x + 2 < 0 невозможен: он требует одновременно x ≥ 3 и x < −2. Пересечение пусто.
Объединяем решения и учитываем ОДЗ. Ответ — (−2; 3]; точка 3 включена, а −2 исключена как нуль знаменателя.
Решим √(x + 1) ≥ x − 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому ОДЗ: x ≥ −1. Если правая часть отрицательна, неотрицательный корень автоматически больше неё; если правая часть неотрицательна, сравнение можно возвести в квадрат. Такое разбиение нужно, чтобы квадратирование не изменило смысл сравнения.
При −1 ≤ x < 1 правая часть x − 1 отрицательна, а корень неотрицателен. Весь этот промежуток подходит.
При x ≥ 1 обе части неотрицательны, поэтому сравнение равносильно x + 1 ≥ (x − 1)². После раскрытия скобок получаем x² − 3x ≤ 0, то есть x(x − 3) ≤ 0 и 0 ≤ x ≤ 3.
Пересекаем результат второго случая с x ≥ 1 и объединяем с первым случаем. Ответ — [−1; 3].
Пересечение альтернативных случаев вместо объединения. Так делают, когда забывают, что достаточно одного варианта знаков; в итоге часто получают пустое множество. Проверьте формулировку: если написано «или», ответы случаев объединяются.
Объединение условий одной системы. Это добавляет значения, подходящие лишь одному ограничению, хотя система требует выполнения всех. Ошибка возникает, если воспринимать каждое неравенство как отдельный вариант. Проверка простая: выпишите общую часть промежутков, а не все промежутки целиком.
Потеря ОДЗ. После преобразования или возведения в квадрат могут появиться значения, для которых исходное выражение не определено. Причина — проверка только нового неравенства. Перед записью ответа подставьте кандидатов в ограничения ОДЗ и исключите недопустимые значения.
Неверная обработка границ. При строгом неравенстве точка равенства не подходит, а при нестрогом её нельзя включать автоматически без проверки. Обычно путают знак неравенства или забывают, что граница может занулять знаменатель. Подставьте граничное значение в исходное условие и проверьте его допустимость.
Для решения систем нужны навыки работы с линейными и квадратными неравенствами, а также пересечения и объединения промежутков. Знание правил знаков произведения и дроби помогает правильно составить случаи; поиск ОДЗ защищает от недопустимых ответов. Эти приёмы применяются в рациональных и иррациональных неравенствах и в других задачах, которые можно свести к нескольким условиям.
Чем система неравенств отличается от совокупности?
В системе все неравенства должны выполняться одновременно, поэтому берут пересечение их решений. В совокупности достаточно одного из условий, поэтому решения случаев объединяют.
Почему в системе нужно пересекать промежутки?
Ответ системы подходит только тогда, когда удовлетворяет каждому её неравенству. Пересечение оставляет именно общие для всех условий значения.
Когда при решении неравенства нужно разбивать его на случаи?
Это нужно, когда исходное условие допускает несколько альтернатив, например произведение положительно при двух множителях одного знака. Каждый случай записывают как систему, а ответы систем объединяют.
Нужно ли проверять ОДЗ после преобразований?
Да. Решение должно принадлежать области, где выражения исходного неравенства определены; иначе оно не имеет смысла в исходной задаче.
Можно ли возводить обе части неравенства в квадрат?
Не всегда: квадратирование сохраняет равносильность не при любых знаках частей. Сначала нужно установить их знаки и ОДЗ, а затем возводить в квадрат только в случае, когда сравнение равносильно полученному.
9.6. Решение неравенств с помощью систем (продолжение)
