"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Неравенства sin x > a и cos x > a требуют найти все углы, при которых значение синуса или косинуса больше заданного числа. Такие задачи решают через граничные точки: сначала приравнивают тригонометрическую функцию к a, затем выбирают подходящие промежутки на окружности. Поскольку синус и косинус периодичны, найденный ответ повторяется через каждые 2π. Знание этого способа помогает решать и неравенства, которые сначала нужно привести к такому виду.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство вида sin x > a означает, что нужно найти все значения переменной x, при которых синус угла x больше заданного числа a. Здесь x — угол, обычно измеряемый в радианах, а a — фиксированное число. Решением будет не один угол, а множество подходящих значений x. Такой вид служит основой для решения более сложных неравенств с синусом.
Неравенство вида cos x > a устроено так же, но сравнивают с числом a значение косинуса. Требуется найти все x, для которых точка на единичной окружности имеет нужную координату: синус связан с вертикальной координатой, косинус — с горизонтальной. Это различие помогает выбрать правильную часть окружности. Поэтому нельзя автоматически переносить на косинус промежутки, найденные для синуса.
Арксинус, обозначаемый arcsin a, — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; арккосинус arccos a — угол из [0; π], косинус которого равен a. Эти функции определены при −1 ≤ a ≤ 1. С их помощью записывают граничные углы неравенства, то есть точки, в которых функция становится равной a. После этого остаётся определить, с какой стороны от границ неравенство выполняется.
Сначала проверяют, может ли синус или косинус вообще принять значение, связанное с a: обе функции меняются только от −1 до 1. Если a > 1, строгое неравенство «функция больше a» невозможно, а неравенство «функция меньше a» выполняется при любом x. Если a < −1, наоборот, условие «функция больше a» верно для всех x, а «меньше a» решений не имеет. Проверка диапазона заранее избавляет от попыток найти несуществующие углы.
При −1 < a < 1 границы для sin x > a получают из уравнения sin x = a. Одна из точек на периоде задаётся углом α = arcsin a, а вторая — углом π − α: эти углы имеют одинаковый синус благодаря симметрии окружности относительно вертикальной оси. Между ними синус выше уровня a, поэтому на одном периоде выбирают промежуток (α; π − α). Этот выбор можно проверить по точке π/2, где синус достигает максимума.
Поскольку синус повторяет значения через 2π, найденный промежуток переносится на все периоды: к обоим концам прибавляют 2πk, где k ∈ Z. Для нестрогого неравенства sin x ≥ a сами граничные углы подходят, поэтому круглые скобки заменяют квадратными. У крайних значений a = −1 или a = 1 нужно учитывать, что границы могут совпасть либо условие стать верным почти всюду или нигде. Проверка исходного неравенства в этих случаях предотвращает потерю отдельных точек.
Для cos x > a границы задаёт уравнение cos x = a; обозначим β = arccos a. На окружности косинус — горизонтальная координата, поэтому при положительном a подходят дуги около точки с углом 0, а при отрицательном границы охватывают большую часть периода около той же точки. В стандартном периоде подходящие значения записываются как (−β; β), а при переносе добавляется 2πk. При знаке ≥ границы включают; при a = −1 строгое неравенство исключает точки, где cos x = −1, а нестрогое выполняется для всех x.
Круглые скобки в ответе соответствуют строгому сравнению: в граничной точке функция равна a, а не больше или меньше него. При нестрогом сравнении равенство допустимо, поэтому граничные точки входят в решение. Периодический перенос не меняет правило включения концов: он только повторяет те же промежутки на всей числовой прямой. Всегда полезно проверить один внутренний угол и сами границы в исходном неравенстве.
В таблице приведены формулы для всех x, где k ∈ Z, если не указано иное. Для синуса и косинуса периодический перенос выполняется на 2πk. Значения a = ±1 проверяйте отдельно по приведённым условиям.
| Неравенство | Условие на a | Решение на одном периоде | Как записать все решения |
|---|---|---|---|
| sin x > a | −1 < a < 1 | (arcsin a; π − arcsin a) | (arcsin a + 2πk; π − arcsin a + 2πk) |
| sin x ≥ a | −1 < a < 1 | [arcsin a; π − arcsin a] | [arcsin a + 2πk; π − arcsin a + 2πk] |
| cos x > a | −1 < a < 1 | (−arccos a; arccos a) | (−arccos a + 2πk; arccos a + 2πk) |
| cos x ≥ a | −1 < a < 1 | [−arccos a; arccos a] | [−arccos a + 2πk; arccos a + 2πk] |
| Случаи a вне отрезка [−1; 1] | a > 1 или a < −1 | Для «>»: пусто при a > 1, все x при a < −1 | Для «≥» результат тот же; при a = 1 и a = −1 проверьте границы отдельно |
Ответ: x ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k ∈ Z.
Ответ: x ∈ [3π/4 + 2πk; 5π/4 + 2πk], k ∈ Z.
Ответ: x ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k ∈ Z.
Первая ошибка — не проверять, лежит ли a в [−1; 1], и сразу искать углы arcsin a или arccos a. При a за пределами этого отрезка обратная тригонометрическая функция не определена в действительных числах. Причина — привычка начинать с уравнения, не проверив область возможных значений функции. Сначала сравни a с −1 и 1, а затем решай, нужны ли граничные углы.
Вторая ошибка — выписать только промежуток на одном периоде. Такой ответ охватывает лишь часть решений, ведь те же значения синуса и косинуса повторяются через 2π. Обычно забывают период, потому что границы уже найдены на окружности. Проверь себя: к обеим границам должны добавляться 2πk при k ∈ Z.
Третья ошибка — перепутать дуги синуса и косинуса. Это происходит, если ориентироваться только на вид формулы, не связывая функцию с координатой точки окружности. Для синуса смотри на вертикальную координату, для косинуса — на горизонтальную; затем проверь выбранный промежуток подстановкой удобного угла. Если проверка не удовлетворяет исходному знаку, выбрана не та дуга.
Четвёртая ошибка — включить границы при строгом знаке или исключить их при нестрогом. На границе функция равна a, поэтому при > или < равенство не подходит, а при ≥ или ≤ подходит. Путаница возникает из-за механического использования одной и той же записи скобок. Подставь граничный угол в исходное условие: это сразу показывает, должен ли он войти в ответ.
Для решения этих неравенств нужны значения синуса и косинуса, их периодичность и умение отмечать углы на единичной окружности. Граничные точки находятся решением простейших тригонометрических уравнений, а arcsin и arccos позволяют записать их через число a. Освоив этот способ, легче переходить к более сложным тригонометрическим неравенствам и системам. В таких задачах часто сначала преобразуют выражение, чтобы получить сравнение функции с числом.
Почему при a > 1 неравенство sin x > a не имеет решений?
Синус любого угла не больше 1. Поэтому он не может быть строго больше числа a, если a > 1.
Как понять, какой промежуток выбрать на единичной окружности?
Отметь точки, где функция равна a, и посмотри, на каких дугах она принимает нужные значения. Для sin x это верхняя или нижняя часть окружности, а для cos x — правая или левая.
Почему к найденному промежутку добавляют 2πk?
Синус и косинус повторяют значения через 2π. Поэтому каждый найденный промежуток повторяется при сдвиге на 2πk, где k — любое целое число.
Чем отличаются ответы для строгого и нестрогого неравенства?
В строгом неравенстве > или < равенство не подходит, поэтому граничные точки не включают. В нестрогом неравенстве ≥ или ≤ равенство разрешено, и границы включают.
Как перейти от неравенства с sin x или cos x к простейшему виду?
Нужно выразить тригонометрическую функцию отдельно, сохраняя знак неравенства при делении на положительное число. Например, из 2 sin x − 1 > 0 получаем sin x > ½.
9.7. Неравенства вида
