14.1. Математическое ожидание

Определения и обозначения

Случайная величина — числовая величина, значение которой определяется результатом случайного опыта. Например, в игре X может обозначать чистый выигрыш игрока: при успехе X = 100, а при неудаче X = −30. Такой объект нужен, чтобы описывать случайные результаты числами и затем сравнивать их.

Закон распределения случайной величины — перечень всех её возможных значений x₁, x₂, …, xₙ и соответствующих вероятностей p₁, p₂, …, pₙ. Вероятности показывают, насколько часто в среднем встречается каждое значение, причём p₁ + p₂ + … + pₙ = 1. Закон распределения содержит данные, необходимые для вычисления среднего результата.

Математическое ожидание дискретной случайной величины — число, равное сумме произведений её возможных значений на соответствующие вероятности: M(X) = x₁p₁ + … + xₙpₙ. Здесь M(X) иногда обозначают E(X). Это не обязательно один из исходов, а специальное взвешенное среднее всех исходов.

Как это устроено

Сначала устанавливают все возможные значения случайной величины, потому что без полного списка нельзя учесть весь результат опыта. Затем для каждого значения находят вероятность его появления. Если пропустить хотя бы один исход, вычисленная сумма будет описывать уже другой, неполный опыт.

Формула математического ожидания получается из идеи взвешенного среднего. Обычное среднее предполагает одинаковую важность всех чисел, а здесь значение, которое встречается чаще, должно сильнее влиять на итог. Поэтому каждое значение умножают на его вероятность, а результаты складывают.

Вероятности находят из условий опыта: перечисляют равновозможные исходы, считают подходящие для нужного значения и делят их число на общее количество исходов. Иногда вероятности уже даны непосредственно в условии. После составления закона распределения проверяют равенство p₁ + … + pₙ = 1: это помогает обнаружить пропущенный исход или ошибку в подсчёте.

Математическое ожидание может не совпадать ни с одним возможным значением, потому что оно является результатом усреднения. Например, при честном броске монеты число орлов равно 0 или 1, но его математическое ожидание равно ½. Дробное число здесь не означает, что в одном броске можно получить половину орла.

При большом числе повторений опыта средний фактический результат обычно приближается к математическому ожиданию. Поэтому оно удобно для оценки игры или решения в долгосрочной перспективе. Однако для одного конкретного опыта математическое ожидание не является гарантированным исходом.

Математическое ожидание: определение и основные свойства

Пользуйтесь таблицей после того, как определили случайные величины и убедились, что их вероятности заданы корректно. Для непосредственного вычисления выбирайте первую строку, а для преобразования выражений — соответствующее свойство. Условие в последнем столбце нельзя игнорировать: например, формула для произведения требует независимости величин.

Разбор задач

Задача 1. Бросок монеты

Монету подбрасывают один раз, а X — число выпавших орлов. Нужно составить закон распределения X и найти M(X). Монета считается честной, поэтому орёл и решка имеют одинаковые вероятности.

1. Возможны значения X = 0 и X = 1.
2. Для каждого значения вероятность равна ½: P(X = 0) = ½ и P(X = 1) = ½.
3. Проверяем закон: ½ + ½ = 1.
4. Вычисляем M(X) = 0 · ½ + 1 · ½ = ½.

Ответ: закон распределения: X = 0 с вероятностью ½, X = 1 с вероятностью ½; M(X) = ½.

Задача 2. Бросок кубика

Игральный кубик бросают один раз, и X — число очков на верхней грани. Все шесть значений от 1 до 6 равновероятны, каждое имеет вероятность ⅙. Требуется найти среднее значение числа очков.

1. Записываем возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Применяем определение: M(X) = 1 · ⅙ + 2 · ⅙ + 3 · ⅙ + 4 · ⅙ + 5 · ⅙ + 6 · ⅙.
3. Выносим общий множитель: M(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3,5.

Ответ: M(X) = 3,5. За один бросок 3,5 очка получить нельзя, но при большом числе бросков среднее число очков будет приближаться к этому значению.

Задача 3. Игра с оплатой участия

За участие игрок платит 30 рублей. При выпадении шестёрки он получает 100 рублей, а при любом другом результате не получает выигрыша. Нужно найти математическое ожидание чистого результата и определить, выгодна ли игра в среднем.

1. Чистый результат учитывает оплату: при шестёрке X = 100 − 30 = 70 рублей, при другой грани X = −30 рублей.
2. Вероятности равны ⅙ и ⅚ соответственно.
3. Находим M(X) = 70 · ⅙ + (−30) · ⅚ = 70/6 − 150/6 = −80/6 = −40/3 ≈ −13,33.
4. Отрицательное значение означает средний проигрыш около 13,33 рубля за одну игру.

Ответ: M(X) = −40/3 рубля, поэтому игра невыгодна игроку в среднем.

Типичные ошибки

Складывают возможные значения без вероятностей. Так получают обычную сумму, а не взвешенное среднее. Проверьте себя: возле каждого значения в вычислении должен стоять множитель pᵢ.

Забывают умножить значение на вероятность или путают пары. Ошибка возникает, когда значения и вероятности записывают без таблицы или спешат с подстановкой. Сначала соедините каждое xᵢ с его pᵢ, затем проверьте все произведения.

Используют вероятности, сумма которых не равна 1. Обычно это означает пропущенный исход или неправильный подсчёт благоприятных случаев. До вычисления M(X) сложите все вероятности и исправьте закон распределения, если результат не равен 1.

Считают математическое ожидание исходом одного опыта. Среднее значение может быть дробным или отсутствовать среди возможных результатов. Чтобы не ошибиться, отделяйте вопрос о единичном исходе от оценки среднего результата серии опытов.

Связь с другими темами

Для математического ожидания нужны навыки нахождения вероятностей событий и перечисления исходов простого случайного опыта. Также пригодятся действия с дробями, умножение и сложение нескольких слагаемых. Сначала определите пространство исходов, а затем переходите к закону распределения.

Математическое ожидание помогает сравнивать игры и решения по их среднему результату. Позже оно станет одной из основных числовых характеристик случайной величины наряду с другими способами описания разброса и поведения результатов.

Что запомнить

• Математическое ожидание обозначают M(X) или E(X).
• Для дискретной случайной величины M(X) = Σxᵢpᵢ.
• Вероятности всех возможных значений в законе распределения в сумме дают 1.
• Математическое ожидание — взвешенное среднее возможных значений.
• M(c) = c для постоянной случайной величины.
• M(aX + b) = aM(X) + b.
• Математическое ожидание описывает средний результат в серии опытов, а не предсказывает исход отдельного опыта.