"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сложный опыт состоит из нескольких действий или испытаний, результаты которых рассматривают вместе. Чтобы не потерять возможные варианты, каждый полный исход записывают как последовательность результатов этапов: порядок может иметь значение. Дерево исходов помогает перечислить варианты, а при равных шансах каждого полного исхода вероятность события находят как отношение числа подходящих исходов к общему числу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложный опыт — опыт, состоящий из нескольких последовательно выполняемых действий или испытаний. В отличие от простого опыта, он имеет этапы, и результат каждого из них входит в описание всего результата. Такое представление помогает понять, какие варианты вообще могут получиться.
Элементарный исход сложного опыта — полный результат, в котором указаны результаты всех его этапов. Например, при двух бросках монеты исход орёл–решка сообщает, что выпало сначала и что затем. Полная запись нужна, чтобы различать варианты, совпадающие только по отдельному результату.
Дерево исходов — схема, которая показывает возможные результаты на каждом этапе и пути от начала опыта до его завершения. Каждая ветвь обозначает один вариант очередного действия, а полный путь соответствует одному исходу. Схема помогает систематически перечислить варианты и проверить, не потерялся ли какой-либо из них.
Равновозможные исходы — исходы, имеющие одинаковые шансы появиться. Это условие необходимо для подсчёта вероятности по формуле «число благоприятных исходов / общее число исходов». Если шансы различаются, одинаковый подсчёт вариантов не отражает вероятность события.
Чтобы описать сложный опыт, сначала перечислите все результаты первого действия. Затем для каждого из них отдельно укажите возможные результаты второго действия и продолжайте так, пока этапы не закончатся. Такой порядок не даёт пропустить ветвь: новый этап рассматривается для каждого уже полученного частичного результата.
Полный исход записывают последовательностью результатов этапов, потому что один и тот же набор результатов может возникнуть в разном порядке. Например, при бросках кости последовательности 2, затем 5 и 5, затем 2 различаются: результат первого броска не совпадает. Если записывать только сумму, оба случая превратятся в 7, и сведения о ходе опыта потеряются.
Дерево строят от начальной точки: от неё проводят ветви для вариантов первого этапа, а от конца каждой ветви — варианты следующего. Повторяют построение, пока у каждой линии не окажутся представлены все этапы. Тогда путь от начала до конечной точки задаёт один полный исход, поэтому перечень конечных путей показывает весь набор исходов.
Число полных исходов можно найти, перемножив число вариантов на этапах, если число вариантов на следующих этапах одинаково при каждом предыдущем результате. Например, два броска кости дают 6 · 6 = 36 пар: к каждому из шести результатов первого броска подходят шесть результатов второго. Если доступные варианты зависят от предыдущего шага, общее произведение может быть неверным — тогда считайте конечные пути дерева или складывайте их число по ветвям.
Для события сначала отметьте полные исходы, при которых оно происходит. Если все исходы равновозможны, разделите число отмеченных исходов на общее число: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — число всех исходов. Равные шансы позволяют считать каждый исход одинаковым вкладом; без этого условия нужно учитывать вероятности отдельных исходов, а не только их количество.
| Что анализируем | Что записать | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Этапы опыта | Порядок и число действий | Чтобы задать структуру опыта |
| Возможные результаты каждого этапа | Все варианты на каждом шаге | Чтобы построить ветви без пропусков |
| Полные исходы опыта | Последовательности результатов этапов | Чтобы различать порядок и перечислить варианты |
| Общее число равновозможных исходов | Число всех полных исходов | Чтобы получить знаменатель формулы вероятности |
| Исходы, благоприятные событию | Полные исходы, при которых событие происходит | Чтобы определить числитель формулы |
| Вероятность события | Отношение числа благоприятных исходов к общему числу | Чтобы оценить шанс события при равных шансах исходов |
Заполняйте схему сверху вниз: сначала определите этапы и варианты, затем составьте полные исходы. Перед вычислением вероятности отдельно проверьте, равны ли шансы исходов; только тогда можно использовать отношение чисел.
Ответ: ОО, ОР, РО, РР.
Ответ: 1/6.
Ответ: 1/2.
Можно считать исходом только итоговое значение, например сумму при двух бросках кости. Так теряется порядок этапов, и разные последовательности ошибочно объединяются. Проверка: спросите себя, можно ли восстановить из записи результат каждого этапа; если нет, исход записан неполно.
Другая ошибка — перемножать количества вариантов этапов, не проверив, одинаковы ли возможности на следующих шагах. Это кажется естественным по правилу умножения, но при зависимости вариантов число произведений может не соответствовать числу путей. Сверьте результат с деревом: если ветви имеют разное число продолжений, посчитайте конечные пути отдельно.
Формулу «благоприятные исходы / все исходы» иногда используют, не проверяя равновозможность. Причина ошибки — принять равное число записанных вариантов за равные шансы, хотя вероятности могут отличаться. Проверьте устройство опыта: если шансы полных исходов неодинаковы, нужно складывать вероятности подходящих исходов.
При перечислении исходов легко повторить последовательность или забыть её. Такое случается, когда список составляют без чёткого порядка. Постройте дерево и сопоставьте каждому полному исходу один конечный путь; затем проверьте, что записаны все ветви каждого этапа и повторов нет.
Для разбора сложного опыта нужны понятия случайного события, исхода опыта и вероятности при равновозможных исходах. Событие — это условие, которому соответствуют некоторые исходы, а вероятность при равных шансах показывает долю подходящих исходов среди всех. Если эти понятия знакомы, дерево помогает перейти от описания опыта к подсчёту.
Разбор по этапам пригодится при изучении независимых испытаний и правил вычисления вероятностей составных событий. В таких задачах нужно учитывать, как результаты отдельных испытаний связаны между собой, и какова вероятность каждого пути. Дерево делает эту связь наглядной и помогает обосновать вычисления.
Что именно считать исходом, если опыт состоит из нескольких действий?
Исходом считают полный результат опыта: в нём записан результат каждого действия по порядку. Например, при двух бросках монеты исходом будет пара результатов, а не только число выпавших орлов.
Почему при двух бросках кости исходы (2, 5) и (5, 2) различны?
В первом случае 2 выпало при первом броске, а 5 — при втором; во втором порядке результаты поменялись местами. Поскольку этапы различаются по порядку, это два разных полных исхода.
Как понять, что дерево исходов построено полностью?
У каждого узла должны быть ветви для всех возможных результатов очередного этапа. Проверьте, что каждый путь от начала до конца соответствует одному полному исходу и ни один вариант не пропущен и не повторён.
Когда можно перемножать числа вариантов на разных этапах?
Так поступают, если на каждом этапе число вариантов известно и набор вариантов следующего этапа не зависит от предыдущих результатов. Если число вариантов меняется, исходы нужно считать по ветвям дерева или другим подходящим способом.
Можно ли применять подсчёт благоприятных исходов, если исходы не равновозможны?
Нельзя просто делить число благоприятных исходов на общее число: такая формула верна только при равных шансах всех полных исходов. Если шансы различаются, нужно учитывать вероятность каждого подходящего исхода.
14.2. Сложный опыт
