"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Схема Бернулли описывает повторение независимых испытаний, в каждом из которых успех имеет одну и ту же вероятность. Формула Бернулли помогает найти вероятность ровно заданного числа успехов, а для событий вроде «хотя бы один» можно складывать подходящие вероятности или использовать противоположное событие. Закон больших чисел объясняет, почему при большом числе испытаний доля успехов обычно становится близкой к их вероятности, хотя точный результат заранее неизвестен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание Бернулли — случайный опыт с двумя взаимоисключающими исходами: успехом и неуспехом. Например, при выстреле успехом может считаться попадание, а неуспехом — промах. Исходы взаимоисключающие: в одном испытании не могут одновременно произойти оба. Такое описание позволяет рассматривать опыт с точки зрения вероятности нужного результата.
Схема Бернулли — проведение n независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха p. Независимость означает, что результат одного испытания не меняет вероятности результата следующего. Условие постоянства p позволяет применять одну формулу ко всей серии. Схема подходит, например, для многократных бросков одной и той же правильной монеты.
Формула Бернулли — формула для вычисления вероятности ровно k успехов в n испытаниях: Pₙ(k) = C(n,k)p^kq^(n−k). Здесь q — вероятность неуспеха, а C(n,k) — число способов выбрать места для успехов. Формула нужна, когда интересует не конкретная последовательность исходов, а любое расположение заданного числа успехов.
Закон больших чисел — утверждение о том, что относительная частота успехов приближается к вероятности успеха при увеличении числа испытаний. Если из n опытов успех произошёл m раз, частота равна m/n. Закон описывает общую тенденцию в длинных сериях, а не обещает точного результата. Поэтому он полезен для понимания статистических наблюдений и повторяющихся случайных опытов.
Вероятность успеха обозначают p, а вероятность неуспеха — q. Поскольку в каждом испытании обязательно происходит один из этих двух исходов, их вероятности в сумме равны единице: p + q = 1, откуда q = 1 − p. Это удобно: зная вероятность успеха, можно сразу определить вероятность противоположного исхода. Например, если p = 0,2, то q = 0,8.
Представим одну конкретную последовательность из n испытаний, в которой успех встречается k раз, а неуспех — n − k раз. Из-за независимости испытаний вероятность такой последовательности равна произведению вероятностей отдельных исходов. Каждый успех даёт множитель p, а каждый неуспех — q, поэтому произведение равно p^kq^(n−k). Порядок исходов меняет саму последовательность, но не это произведение.
Однако нам нужна вероятность ровно k успехов, а не только одной заранее выбранной последовательности. Успехи могут стоять на любых k местах из n, поэтому количество возможных расположений равно сочетанию C(n,k). Для каждого расположения вероятность одна и та же — p^kq^(n−k), а разные последовательности не могут произойти одновременно. Складывая их вероятности, получаем Pₙ(k) = C(n,k)p^kq^(n−k).
Если требуется найти вероятность не менее k успехов, подходят результаты k, k + 1, …, n. Эти случаи несовместны, поэтому их вероятности складывают: Pₙ(k) + Pₙ(k+1) + … + Pₙ(n). Для события «не более k» складывают вероятности от нуля до k. А чтобы найти вероятность хотя бы одного успеха, проще рассмотреть противоположное событие: отсутствие успехов во всех испытаниях имеет вероятность q^n, значит искомая вероятность равна 1 − q^n.
Формула Бернулли вычисляет вероятность конкретного числа успехов при заданном количестве испытаний. Закон больших чисел отвечает на другой вопрос: как ведёт себя доля успехов, если испытаний становится много. При этом относительная частота m/n обычно приближается к p, но это не означает точного равенства и не позволяет узнать заранее исход отдельного опыта. Таким образом, формула описывает вероятности возможных результатов, а закон — общую закономерность длинной серии.
| Случай | Формула | Что вычисляется | Комментарий |
|---|---|---|---|
| Ровно k успехов в n испытаниях | Pₙ(k) = C(n,k)p^kq^(n−k) | Вероятность заданного числа успехов | Основная формула Бернулли |
| Ни одного успеха | Pₙ(0) = q^n | Вероятность полного отсутствия успехов | Частный случай формулы Бернулли |
| Хотя бы один успех | 1 − q^n | Вероятность противоположного события к событию «ни одного успеха» | Удобнее использовать дополнительное событие |
| Не менее k успехов | Pₙ(k) + Pₙ(k+1) + … + Pₙ(n) | Вероятность диапазона возможных результатов | Складываются вероятности всех подходящих значений |
| Относительная частота успехов | m/n | Доля успехов среди проведённых испытаний | При больших n приближается к p |
Сначала определите, какое событие требуется: ровно заданное число успехов, диапазон значений или хотя бы один успех. Для одного точного числа используйте формулу Бернулли, а для нескольких возможных чисел складывайте соответствующие вероятности. Если событие проще выразить через отсутствие успехов, вычислите вероятность противоположного события и вычтите её из единицы.
Задача 1. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Найдём вероятность ровно двух попаданий в серии из пяти независимых выстрелов. Успехом считаем попадание, поэтому n = 5, k = 2, p = 0,2, а q = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно учесть все последовательности с двумя попаданиями, а не только одну из них.
Задача 2. Вероятность успешного выполнения задания равна 0,7. Найдём вероятность того, что из десяти независимых попыток успех произойдёт не менее восьми раз. Слово «не менее» включает три варианта: ровно восемь, ровно девять и ровно десять успехов. Вероятность неуспеха равна q = 1 − 0,7 = 0,3.
Задача 3. Монету подбрасывают 1000 раз. Объясним, почему число выпадений орла обычно оказывается близким к 500, хотя точный результат неизвестен заранее. Для правильной монеты вероятность орла p = 0,5, а относительная частота орла — число выпадений орла, делённое на 1000. Закон больших чисел описывает поведение этой доли в длинной серии.
Первая ошибка — заменить вероятность ровно k успехов вероятностью не менее k. Эти события различаются: второе включает несколько значений числа успехов, поэтому требует сложения нескольких вероятностей. Путаница возникает, когда слова «не менее» читают как «ровно». Проверьте условие и выпишите все подходящие значения k перед вычислениями.
Вторая ошибка — забыть множитель C(n,k). Тогда учитывают вероятность лишь одной последовательности, хотя нужное событие может получиться при разных расположениях успехов. Это происходит, если сосредоточиться на произведении вероятностей исходов и не посчитать варианты порядка. Для проверки спросите себя, на каких местах могут находиться успехи; если расположений несколько, нужен множитель-сочетание.
Третья ошибка — перепутать p и q или подставить вероятность успеха вместо вероятности неуспеха. Так результат для каждого неуспеха в последовательности будет рассчитан неверно. Обычно это случается, если обозначения не записаны перед подстановкой. Проверьте, что p соответствует успеху, q — неуспеху и p + q = 1.
Четвёртая ошибка — считать, что закон больших чисел обещает точное равенство частоты и вероятности или предсказывает каждый отдельный результат. На самом деле он описывает тенденцию при большом числе испытаний, а не гарантирует заданное число успехов. Такое неверное толкование возникает из-за слова «приближается». Проверяйте себя вопросом: говорится ли о доле в длинной серии или о точном исходе одного опыта?
Для изучения схемы Бернулли нужны классическое определение вероятности, противоположные события, независимость событий и биномиальные коэффициенты. Именно сочетания считают способы расположить успехи, а независимость позволяет перемножать вероятности исходов. Формула Бернулли становится основой для изучения биномиального распределения, математического ожидания и дисперсии случайной величины. Её и закон больших чисел применяют при анализе повторяющихся испытаний, статистических наблюдений и оценке надёжности.
Почему в формуле Бернулли появляется сочетание C(n,k)?
Сочетание C(n,k) считает, сколькими способами можно выбрать места для k успехов среди n испытаний. Для каждого такого расположения вероятность последовательности равна p^kq^(n−k), поэтому эту вероятность умножают на число расположений.
Чем вероятность ровно k успехов отличается от вероятности не менее k успехов?
«Ровно k» означает единственное число успехов, а «не менее k» включает k, k + 1 и все большие значения вплоть до n. Поэтому во втором случае складывают вероятности всех этих вариантов.
Можно ли применять формулу Бернулли, если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию?
Нет, обычная формула Бернулли предполагает одну и ту же вероятность успеха p в каждом испытании. Если вероятности меняются, вероятность последовательности уже нельзя выразить одним произведением p^kq^(n−k), и нужно использовать другой способ.
Почему закон больших чисел не гарантирует точного равенства частоты и вероятности?
Закон больших чисел говорит о приближении относительной частоты к вероятности при увеличении числа испытаний, а не о точном совпадении. Даже в длинной серии возможны отклонения, и отдельный результат нельзя предсказать заранее.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха, не складывая вероятности всех возможных чисел успехов?
Рассмотрим противоположное событие — ни одного успеха. Его вероятность равна q^n, поэтому вероятность хотя бы одного успеха составляет 1 − q^n.
14.3. Формула Бернулли. Закон больших чисел
