"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Формула Бернулли позволяет найти вероятность заданного числа успехов в серии одинаковых независимых испытаний, например при нескольких бросках монеты. Она учитывает и вероятность одной конкретной последовательности, и количество последовательностей с тем же числом успехов. Закон больших чисел дополняет эту формулу: при большом числе испытаний относительная частота успеха с высокой вероятностью оказывается близка к его вероятности p, хотя точное совпадение не гарантируется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание Бернулли — случайный опыт с двумя исходами: успехом с вероятностью p и неудачей с вероятностью q = 1 − p. Успехом называют интересующий нас исход, а не обязательно желаемый результат. Такое обозначение позволяет описывать самые разные опыты одной моделью.
Схема Бернулли — серия из n независимых испытаний Бернулли с одной и той же вероятностью успеха p. Независимость и постоянство вероятности делают все позиции серии равноправными. Поэтому можно изучать число успехов, не меняя модель для каждого испытания.
Формула Бернулли задаёт вероятность ровно k успехов в n испытаниях: Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ. Здесь Cₙᵏ — число способов выбрать k испытаний, в которых произойдёт успех. Формула нужна, когда требуется вероятность конкретного числа успехов, а не одной определённой последовательности.
Закон больших чисел для схемы Бернулли утверждает, что при большом числе испытаний относительная частота успеха с высокой вероятностью близка к p. Относительная частота — это число успехов, делённое на общее число испытаний. Закон позволяет объяснить, почему повторные наблюдения помогают оценивать вероятность по данным.
В схеме Бернулли вероятность p должна оставаться постоянной, потому что один и тот же параметр описывает успех на каждой позиции серии. Если условия опыта меняются, разные испытания получают разные вероятности и единая формула уже не подходит. Независимость нужна по другой причине: она позволяет находить вероятность совместного исхода умножением вероятностей отдельных испытаний. Без неё предыдущие результаты могут изменить шансы следующих.
Пусть заранее задана последовательность из k успехов и n − k неудач. Вероятность получить все её исходы равна произведению вероятностей на каждой позиции. Для k успехов это k множителей p, а для неудач — n − k множителей q. Поэтому вероятность последовательности равна pᵏqⁿ⁻ᵏ, независимо от того, в каком порядке стоят успехи и неудачи.
Но нам обычно важен не порядок исходов, а только их количество. Например, при трёх испытаниях два успеха можно получить в последовательностях «успех, успех, неудача», «успех, неудача, успех» и «неудача, успех, успех». Число способов выбрать k позиций из n равно Cₙᵏ. Все такие последовательности имеют одну и ту же вероятность, поэтому их вероятности складываются и получается Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
Чтобы найти вероятность ровно заданного числа успехов, подставляют n, k, p и q в формулу. Если условие допускает несколько значений числа успехов, соответствующие события несовместны: нельзя одновременно получить, например, ровно четыре и ровно пять успехов. Поэтому их вероятности складывают. Значения k при этом должны быть целыми и лежать от 0 до n.
Закон больших чисел говорит о поведении относительной частоты ν/n, где ν — число успехов. При росте n вероятность того, что частота отойдёт от p хотя бы на фиксированную величину ε, становится сколь угодно малой. Для схемы Бернулли это можно выразить оценкой Чебышёва: P(|ν/n − p| ≥ ε) ≤ pq/(nε²). Правая часть уменьшается при увеличении n, но закон не запрещает отклонения в отдельной серии.
| Что рассматривается | Формула Бернулли | Закон больших чисел |
|---|---|---|
| Условия применения | n независимых испытаний, постоянная вероятность p | Большое число независимых испытаний с постоянной вероятностью p |
| Рассматриваемая величина | Число успехов k в серии | Относительная частота ν/n |
| Основное соотношение | Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ | P(|ν/n − p| ≥ ε) ≤ pq/(nε²) |
| Как интерпретировать результат | Вероятность ровно k успехов | Вероятность заметного отклонения частоты убывает с ростом n |
| Типичный вопрос задачи | Какова вероятность заданного числа успехов? | Насколько вероятно заметное отличие частоты от p? |
Таблица помогает выбрать инструмент по тому, что спрашивают в задаче: конкретное число успехов или близость частоты к вероятности. Формула Бернулли даёт вероятность для выбранного k, а оценка закона больших чисел — верхнюю границу вероятности отклонения. В обоих случаях сначала проверьте независимость испытаний и постоянство p.
Задача 1. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза. Считаем орла успехом: испытания независимы, вероятность орла при каждом броске равна ½. Значит, условие схемы Бернулли выполнено.
Задача 2. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность не менее 4 попаданий в 6 независимых выстрелах. Слова «не менее 4» означают, что подходят три значения: 4, 5 и 6. Для промаха q = 1 − 0,7 = 0,3.
Задача 3. Вероятность успеха в каждом независимом испытании равна 0,4. Оценить сверху вероятность того, что в 100 испытаниях относительная частота отличается от 0,4 не менее чем на 0,1. Здесь n = 100, p = 0,4, q = 0,6, ε = 0,1. Требуется верхняя оценка, поэтому применяем не формулу для конкретного k, а оценку Чебышёва.
Формулу Бернулли применяют, когда испытания зависимы или вероятность успеха меняется. Ошибка возникает, если ориентироваться только на наличие двух исходов и не проверить условия модели. Перед вычислением спросите себя, влияет ли результат одного испытания на другое и одинаково ли устроены все испытания. Если нет, формула в таком виде не обоснована.
Иногда в формуле забывают множитель Cₙᵏ и считают вероятность только одной последовательности. Так делают, когда находят pᵏqⁿ⁻ᵏ, но не учитывают, что успехи могут стоять на разных местах. Проверьте, спрашивают ли о заданном порядке или только о числе успехов. Во втором случае нужно учесть все возможные расположения с помощью сочетания.
Другая ошибка — перепутать показатели степеней у p и q. Поскольку p относится к успеху, его показатель равен k, а q относится к неудаче, которых n − k. Путаница часто возникает из-за того, что обе части формулы выглядят симметрично. Самопроверка: сумма показателей равна n, а каждый показатель соответствует числу исходов своего типа.
Закон больших чисел иногда принимают за гарантию, что частота в каждой серии окажется близка к p. Он описывает вероятность отклонения, а не обещает единственный результат. Проверяйте формулировку: при большом n отклонение становится маловероятным, но не невозможным. Поэтому нельзя утверждать, что частота обязана совпасть с p или обязательно приблизится к ней в любой конкретной серии.
Для формулы Бернулли нужны сочетания Cₙᵏ, правила умножения и сложения вероятностей, независимые события и вероятность противоположного события. Сочетания считают расположения успехов, умножение даёт вероятность одной последовательности, а сложение объединяет варианты числа успехов. Умение находить q как 1 − p помогает учитывать неудачи.
Эти идеи применяются при оценке надёжности, анализе результатов наблюдений и изучении математической статистики. Например, повторные испытания позволяют сопоставлять наблюдаемую частоту события с его предполагаемой вероятностью. Закон больших чисел объясняет, почему такие сравнения полезны при накоплении данных.
Почему испытания в схеме Бернулли должны быть независимыми?
Независимость означает, что исход одного испытания не меняет вероятность исхода следующего. Благодаря этому вероятность любой заданной последовательности можно получить умножением вероятностей отдельных исходов. Если результаты влияют друг на друга, формула Бернулли в указанном виде может быть неприменима.
Что означает число Cₙᵏ в формуле Бернулли?
Cₙᵏ — число способов выбрать k испытаний из n, в которых произойдёт успех. Каждый такой выбор задаёт отдельную последовательность с k успехами и n − k неудачами. Множитель учитывает все эти последовательности.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Можно сложить вероятности для k = 1, 2, …, n по формуле Бернулли. Часто проще найти противоположное событие: ни одного успеха, вероятность которого равна qⁿ. Поэтому вероятность хотя бы одного успеха равна 1 − qⁿ.
Можно ли применять формулу Бернулли, если вероятность успеха меняется?
Нет, стандартная схема Бернулли требует постоянной вероятности успеха во всех испытаниях. При меняющихся вероятностях формула Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ не описывает вероятность ровно k успехов. Нужно учитывать вероятности каждого испытания отдельно.
Означает ли закон больших чисел, что относительная частота обязательно будет равна вероятности?
Нет. Закон больших чисел говорит, что при большом числе испытаний вероятность заметного отклонения частоты от p мала. В конкретной серии частота может отличаться от p, и даже большое число испытаний не исключает такого исхода полностью.
3. Формула Бернулли. Закон больших чисел
