2. Условная вероятность. Формула умножения

Определения и обозначения

Условная вероятность события B при условии, что произошло событие A, — это вероятность B среди исходов, оставшихся возможными после наступления A. Её обозначают P(B|A); такое обозначение имеет смысл при P(A)>0. Условие помогает пересчитать вероятность, когда часть информации об опыте уже известна.

Формула условной вероятности записывается так: P(B|A) = P(A∩B) / P(A), если P(A)>0. Здесь A∩B — событие, при котором произошли и A, и B, а P(A) задаёт вероятность области исходов, оставшихся после условия. Формула позволяет вычислять условную вероятность по вероятностям знакомых событий.

Формула умножения вероятностей имеет вид P(A∩B) = P(A)P(B|A) при P(A)>0. Она даёт вероятность того, что наступят оба события: сначала учитывается вероятность A, затем — вероятность B среди случаев, где A уже произошло. Формулу применяют, когда известна или вычисляется условная вероятность второго события.

События A и B независимы, если при P(A)>0 выполняется P(B|A)=P(B). Это означает, что наступление A не меняет вероятность B; тогда формула умножения принимает вид P(A∩B)=P(A)P(B). Понятие независимости помогает понять, можно ли учитывать события по отдельности.

Как это устроено

Представим опыт с конечным числом равновозможных исходов. Если стало известно, что произошло A, все исходы вне A исключаются: они противоречат полученной информации. Новым пространством возможностей становится A, поэтому вероятность B теперь определяется не среди всех исходов, а среди исходов A. Подходящими для B являются только те из них, которые одновременно принадлежат B, то есть исходы A∩B.

Для равновозможных исходов обычная вероятность — это отношение числа подходящих исходов к общему числу исходов. После условия A общее число возможных исходов сокращается до числа исходов A, а подходящих — до числа исходов A∩B. Поэтому условная вероятность равна отношению этих количеств: P(B|A)=P(A∩B)/P(A). При неравновозможных исходах та же формула работает через вероятности, а не через простое отношение количеств.

Чтобы найти вероятность совместного наступления A и B, можно рассуждать по шагам. Сначала событие A должно произойти, что имеет вероятность P(A); после этого B должно произойти в оставшейся ситуации, что имеет вероятность P(B|A). Вероятность пройти оба шага равна произведению вероятностей, поэтому P(A∩B)=P(A)P(B|A). Условие P(A)>0 необходимо, чтобы условная вероятность P(B|A) была определена.

Порядок событий в условии нельзя менять автоматически. P(B|A) отвечает на вопрос о B среди случаев, где произошло A, а P(A|B) — об A среди случаев, где произошло B. Например, среди исходов A может быть много тех, что не входят в B, тогда как среди исходов B доля принадлежащих A окажется другой. Пересечение A∩B при этом не меняется: совместное наступление событий не зависит от порядка их записи.

Если A и B независимы, условие A не меняет шансы события B. Именно поэтому в формуле умножения P(B|A) можно заменить на P(B), и получается P(A∩B)=P(A)P(B). При положительной вероятности A обратное тоже верно: равенство P(B|A)=P(B) показывает независимость. Если события зависимы, условная вероятность отличается от обычной, и подмена может привести к неверному ответу.

Условная вероятность и формула умножения

Сначала определите, какое событие считается условием, а какое — искомым: в записи P(B|A) условие стоит после вертикальной черты. Для последовательных шагов используйте формулу умножения, добавляя к каждому следующему множителю условие на предыдущие события. Независимость позволяет заменить условную вероятность обычной, но только если равенство независимости действительно выполняется.

Разбор задач

Два красных шара

В урне 5 красных и 3 синих шара; два шара вынимают без возвращения. Нужно найти вероятность, что оба окажутся красными. Обозначим через A событие «первый шар красный», а через B — «второй шар красный». После первого красного шара в урне остаются 4 красных и 3 синих шара.

1. Вероятность первого красного шара равна P(A)=5/8, потому что всего в урне 8 шаров, из них 5 красных.
2. При условии A вероятность второго красного шара равна P(B|A)=4/7: после первого извлечения осталось 7 шаров, и красных среди них 4.
3. По формуле умножения P(A∩B)=P(A)P(B|A)=(5/8)(4/7)=20/56=5/14.

Ответ: вероятность того, что оба шара красные, равна 5/14. Вероятности перемножаются не как две одинаковые доли от первоначального состава: после первого извлечения состав урны изменился. Поэтому для второго шага использована условная вероятность.

Вторая карта — туз при условии, что первая была тузом

Из колоды в 36 карт последовательно вытягивают две карты без возвращения. Требуется найти вероятность того, что вторая карта — туз, если первая уже оказалась тузом. Условие сужает множество вариантов: первая карта фиксирована как туз, поэтому среди оставшихся 35 карт находятся 3 туза. Порядок вытягивания здесь важен для описания условия.

1. Событие A — «первая карта туз», событие B — «вторая карта туз». Искомая вероятность — P(B|A).
2. После того как первый туз вынут и не возвращён, в колоде остаются 35 карт. Из них 3 — тузы, поэтому P(B|A)=3/35.

Ответ: 3/35. Мы пересчитали вероятность среди оставшихся карт, а не среди первоначальных 36. Если бы условие было другим, например первая карта не туз, количество тузов среди оставшихся карт изменилось бы иначе.

Вероятность вытащить два туза

Из 36 карт с четырьмя тузами вытягивают две карты без возвращения. Найдём вероятность того, что обе карты — тузы, сначала по формуле умножения, а затем подсчётом сочетаний. Сравнение способов помогает проверить вычисление и увидеть, что условная вероятность учитывает изменение состава колоды.

1. Вероятность того, что первая карта — туз, равна 4/36. Если это случилось, остаются 3 туза из 35 карт, поэтому условная вероятность второго туза равна 3/35.
2. Перемножаем: P(оба туза)=(4/36)(3/35)=12/1260=1/105.
3. Для проверки считаем сочетания: всего пар карт C(36,2)=630, а пар тузов C(4,2)=6. Доля благоприятных пар равна 6/630=1/105.

Ответ: 1/105. Оба способа дают одинаковый результат: первый разбивает извлечение на последовательные шаги, а второй считает все пары без учёта порядка. Если бы вместо условной вероятности ошибочно взяли 4/36 и для второго шага, получилось бы другое, неверное значение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — менять местами условие и событие, считая P(B|A) вероятностью A при B. Её допускают, потому что в обеих записях встречаются те же буквы, но условие стоит после вертикальной черты. Проверка простая: прочитайте запись вслух — «вероятность B при условии A» — и убедитесь, что именно A уже произошло.

Вторая ошибка — считать P(B|A)=P(B), не проверив независимость. Так делают, когда забывают, что условие может изменить состав возможных исходов, как при извлечении без возвращения. Проверьте, изменилось ли число подходящих исходов после A, или сравните условную вероятность с обычной; если они различаются, события зависимы.

Третья ошибка — подставлять P(A)=0 в формулу P(B|A)=P(A∩B)/P(A). При нулевой вероятности события A знаменатель равен нулю, поэтому условная вероятность этой формулой не определена. Перед вычислением проверьте условие P(A)>0; если оно не выполняется, нельзя делить на P(A).

Четвёртая ошибка — при последовательных испытаниях без возвращения перемножать безусловные вероятности, будто после каждого шага набор не меняется. Это удобно, но неверно: извлечённый объект уже не участвует в следующем испытании. Для самопроверки пересчитайте состав набора после каждого шага и запишите вероятность следующего события с учётом предыдущих результатов.

Связь с другими темами

Чтобы работать с условной вероятностью, нужно уметь находить вероятность события и понимать пересечение событий: A∩B означает, что произошли оба события. Также полезно представлять пространство элементарных исходов и определять, какие из них подходят условию. Эти знания позволяют увидеть, как меняется множество возможных исходов после наступления события.

Формула умножения применяется в задачах о последовательных испытаниях и независимых событиях. В схемах повторных испытаний она помогает учитывать вероятность каждого шага и условия, созданные предыдущими шагами. Условная вероятность также служит основой для формулы полной вероятности и формулы Байеса: с их помощью находят вероятность события по нескольким возможным причинам или обновляют оценку после получения новой информации.

Что запомнить

• P(B|A) — вероятность B при условии, что A произошло.
• P(B|A)=P(A∩B)/P(A), если P(A)>0.
• P(A∩B)=P(A)P(B|A).
• Для нескольких событий вероятность совместного наступления раскладывают на произведение последовательных условных вероятностей.
• Независимость означает, что наступление одного события не меняет вероятность другого.
• Для независимых A и B: P(A∩B)=P(A)P(B).