1. Независимые случайные события

Определения и обозначения

Независимые события — события, наступление одного из которых не изменяет вероятность наступления другого. Например, результат броска кубика не влияет на результат одновременного броска монеты. Понятие нужно, чтобы понимать, когда вероятности нескольких событий можно перемножать.

Зависимые события — события, для которых наступление одного изменяет вероятность другого. Так происходит, например, при последовательном извлечении шаров без возвращения: после первого извлечения состав урны меняется. Это определение помогает не применять формулу для независимых событий там, где она не подходит.

Условная вероятность — вероятность события при условии, что другое событие уже произошло. Вероятность B при условии A обозначают P(B|A); если P(A)>0, то P(B|A)=P(A∩B)/P(A). Она нужна, чтобы учитывать новую информацию о результате опыта и оценивать, как эта информация меняет шансы события.

Теорема умножения вероятностей — правило вычисления вероятности совместного наступления событий через условную вероятность: P(A∩B)=P(A)·P(B|A), если P(A)>0. Пересечение A∩B означает, что произошли и A, и B. Формула применима и к зависимым событиям, поэтому служит общей основой для вычислений.

Как это устроено

Чтобы выразить отсутствие влияния через условную вероятность, сравнивают вероятность B до и после того, как стало известно о событии A. Если P(B|A)=P(B), информация о наступлении A ничего не изменила в оценке B, значит, события независимы. Равенство рассматривают при P(A)>0, поскольку условная вероятность при нулевой вероятности условия этой формулой не определяется. Так словесное описание независимости превращается в проверяемое математическое условие.

Теорема умножения сначала учитывает вероятность наступления A, а затем — вероятность B при уже наступившем A: P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Если события независимы, вероятность B после наступления A остаётся прежней, то есть P(B|A)=P(B). Поэтому в формуле вместо условной вероятности можно подставить обычную, и получится P(A∩B)=P(A)·P(B). Перемножение здесь не отдельное правило наугад, а следствие того, что первое событие не меняет шансы второго.

Независимость симметрична: если A не меняет вероятность B, то и B не меняет вероятность A. Действительно, при P(A)>0 и P(B)>0 равенство P(A∩B)=P(A)·P(B) можно разделить как на P(A), так и на P(B). Получаются равенства P(B|A)=P(B) и P(A|B)=P(A). Значит, в определении можно поменять события местами, не меняя самого свойства.

По известным вероятностям независимость проверяют, сравнивая P(A∩B) с P(A)·P(B). Равенство означает независимость, а несовпадение — зависимость. Само по себе то, что два события не происходят одновременно, ничего не доказывает: важно, как меняется вероятность одного при условии другого. Например, непересекающиеся события с положительными вероятностями зависимы, потому что наступление одного исключает второе.

Если A и B независимы, противоположные им события тоже сохраняют независимость. Например, событие «не произошло A» обозначают Ā; вероятность совместного наступления Ā и B равна P(B)−P(A∩B)=P(B)(1−P(A))=P(B)·P(Ā). То же рассуждение применимо к замене B на противоположное событие, а значит, независимы и Ā с B̄. Для нескольких событий формулу произведения можно применять при их взаимной независимости; одной лишь независимости каждой пары для этого в общем случае недостаточно.

Сравнение независимых и зависимых событий

Сначала определите, что означает каждое событие, и выясните, меняет ли информация о наступлении A шансы события B. Затем воспользуйтесь условной вероятностью или, если известна вероятность пересечения, проверьте равенство произведению. Таблица показывает, какие формулы соответствуют каждому случаю.

Разбор задач

Задача 1. Для событий A и B известны вероятности P(A)=0,4, P(B)=0,7 и P(A∩B)=0,28. Определить, являются ли события независимыми. Проверим критерий через произведение вероятностей и сопоставим его с вероятностью пересечения. Такой способ удобен, потому что все нужные значения уже даны.

1. Вычислим произведение вероятностей: P(A)·P(B)=0,4·0,7=0,28. Оно совпадает с заданной вероятностью совместного наступления. Значит, выполняется критерий независимости.

2. Ответ: события A и B независимы. Полученный результат означает, что наступление одного из этих событий не меняет вероятность другого. Проверка основана на равенстве P(A∩B)=P(A)·P(B).

Задача 2. Монету и игральный кубик бросают одновременно; нужно найти вероятность выпадения орла и числа 6. Обозначим выпадение орла через A, а выпадение шестёрки через B. Результат монеты не меняет результат кубика, поэтому события независимы.

1. Вероятность орла равна P(A)=½, а вероятность шестёрки — P(B)=⅙. Для совместного наступления независимых событий применяем формулу P(A∩B)=P(A)·P(B). Именно независимость позволяет использовать обычную вероятность B вместо условной P(B|A).

2. Перемножаем: ½·⅙=1/12. Значит, шанс получить одновременно орла и шестёрку равен одной двенадцатой. Ответ: 1/12.

Задача 3. В урне 5 белых и 3 чёрных шара, два шара извлекают последовательно без возвращения. Найдём вероятность того, что оба шара белые, и выясним, независимы ли события. Пусть A — первый шар белый, B — второй шар белый. После первого извлечения число шаров в урне меняется, поэтому вероятность второго белого нужно считать с учётом результата первого.

1. Вероятность первого белого шара равна P(A)=5/8. Если первый шар действительно белый, в урне останутся 4 белых шара из 7, поэтому P(B|A)=4/7. Используем общую формулу умножения: P(A∩B)=P(A)·P(B|A).

2. Получаем P(A∩B)=5/8·4/7=20/56=5/14. Для проверки независимости сравним условную вероятность второго белого после первого с первоначальной вероятностью белого шара: 4/7≠5/8. Следовательно, события зависимы, а вероятность обоих белых равна 5/14.

Типичные ошибки

• Считать события независимыми только потому, что они относятся к разным испытаниям. Это кажется правдоподобным, если испытания выполняются последовательно, но состав объектов или условия могут меняться. Проверьте устройство опыта или сравните P(B|A) и P(B); без такого основания независимость не следует из описания.

• Путать независимость с несовместностью. События могут не происходить вместе, но это не означает, что одно не влияет на другое: наступление несовместного события исключает второе. Если вероятности обоих событий положительны, проверьте себя равенством P(A∩B)=P(A)·P(B): для несовместных событий оно обычно не выполняется.

• Для зависимых событий использовать P(A∩B)=P(A)·P(B). Ошибка возникает, когда правило для независимых событий принимают за общую формулу умножения. В общем случае нужна условная вероятность: P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Перед вычислением выясните, меняет ли наступление A вероятность B.

• Думать, что независимость означает равенство P(A) и P(B). Независимость описывает влияние событий друг на друга, а не совпадение их вероятностей. Например, броски монеты и кубика независимы, хотя вероятность орла равна ½, а вероятность шестёрки — ⅙. Проверяйте произведение и пересечение, а не сравнивайте вероятности событий между собой.

Связь с другими темами

Для работы с независимостью нужны понятия случайного события, вероятности и противоположного события, а также операции пересечения и условная вероятность. Тема продолжает изучение действий над событиями и формул сложения и умножения вероятностей: теорема умножения здесь объясняет, когда можно заменить условную вероятность обычной. Независимость особенно полезна при повторных испытаниях и построении схемы Бернулли, где считают число успехов в серии опытов. Те же идеи применяют при изучении биномиального распределения и в задачах статистики.

Что запомнить

• Независимость означает отсутствие влияния одного события на вероятность другого.
• Для независимых событий P(A∩B)=P(A)·P(B).
• Критерий независимости: P(A∩B)=P(A)·P(B).
• Для зависимых событий применяют формулу P(A∩B)=P(A)·P(B|A).
• Независимость и несовместность — разные свойства событий.
• Противоположные события, связанные с независимыми событиями, также независимы.
• При последовательных испытаниях без возвращения события обычно зависимы.