"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Независимые испытания — это повторения опыта, при которых предыдущие результаты не меняют шансы следующих. Если в каждом опыте возможны успех и неуспех с постоянными вероятностями p и q = 1 − p, применяют схему Бернулли. Она помогает находить вероятность ровно k успехов среди n испытаний: нужно учесть вероятность одной последовательности и число способов расположить успехи. Эта модель используется в задачах о монетах, попаданиях, браке и многих других повторяющихся событиях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Независимые испытания — повторяющиеся испытания, в которых результат каждого не изменяет вероятность результатов остальных. Например, при подбрасывании честной монеты предыдущий бросок не влияет на следующий. Это понятие нужно, чтобы оценивать вероятность нескольких результатов вместе, не учитывая влияние одного испытания на другое.
Схема Бернулли — модель из n независимых испытаний с двумя исходами: успехом и неуспехом, вероятности которых постоянны. Успехом называют исход, число появлений которого требуется найти; так, в задаче о попаданиях успех — попадание. Схема позволяет описывать повторяющиеся ситуации одной математической моделью.
Вероятность успеха и неуспеха обозначают буквами p и q; они связаны равенством q = 1 − p. Поскольку исходов два, сумма вероятностей успеха и неуспеха равна единице. Обозначения помогают кратко записать вероятность любой последовательности результатов.
Формула Бернулли вычисляет вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях: Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ. Здесь Cₙᵏ — число способов выбрать k испытаний из n, в которых произойдёт успех. Формула нужна, когда требуется вероятность заданного количества успехов, а не конкретного порядка результатов.
Постоянная вероятность p означает, что каждое испытание устроено одинаково с точки зрения шансов на успех: вместе с ней во всех опытах неизменна и вероятность неуспеха q. Независимость означает, что эти шансы не пересчитывают после каждого результата. Поэтому можно применять одни и те же p и q на всех шагах, а вероятность заданного порядка исходов получать умножением.
Пусть в конкретной последовательности из n результатов k раз случился успех, а в остальных n − k испытаниях — неуспех. По правилу умножения вероятностей независимых событий вероятность этой последовательности равна p · p · … · p · q · q · … · q. В произведении k множителей p и n − k множителей q, поэтому запись сокращается до pᵏ · qⁿ⁻ᵏ. Порядок результатов на это произведение не влияет.
Однако условие «ровно k успехов» допускает разные последовательности: например, успехи могут прийтись на первые испытания или распределиться между началом и концом. Чтобы посчитать такие варианты, нужно выбрать k мест из n; это можно сделать Cₙᵏ способами. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому складывание одинаковых вероятностей равносильно умножению вероятности одной последовательности на Cₙᵏ. Так возникает множитель в формуле Бернулли.
Для отсутствия успехов подставляют k = 0: вероятность равна qⁿ. Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха», поэтому его вероятность равна 1 − qⁿ. Такой ход обычно проще, чем складывать вероятности одного, двух и всех остальных возможных успехов.
Наиболее вероятное число успехов связано с величиной (n + 1)p. Если она не целая, наиболее вероятное число равно её целой части; если целая — одинаково наиболее вероятны два соседних значения: (n + 1)p − 1 и (n + 1)p. Причина в сравнении вероятностей соседних случаев по формуле Бернулли: отношение меняется в зависимости от p и числа испытаний. Это правило помогает определить максимум без вычисления всех вероятностей.
| Ситуация | Обозначения | Формула |
|---|---|---|
| Вероятность успеха и неуспеха в одном испытании | p — успех, q — неуспех | q = 1 − p |
| Вероятность конкретной последовательности из k успехов и n − k неуспехов | n испытаний, k успехов | pᵏqⁿ⁻ᵏ |
| Вероятность ровно k успехов в n испытаниях | Cₙᵏ — число вариантов | Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ |
| Вероятность ни одного успеха | k = 0 | qⁿ |
| Вероятность хотя бы одного успеха | Событие, противоположное отсутствию успехов | 1 − qⁿ |
| Наиболее вероятное число успехов | Сравнивают (n + 1)p с целыми числами | Если не целое — целая часть; если целое — оно и число на 1 меньше |
Сначала определите, что считается успехом, и запишите n, p и q. Для ровно k успехов используйте формулу Бернулли, а для хотя бы одного — противоположное событие. При поиске наиболее вероятного числа сравните (n + 1)p с целыми числами и учтите случай, когда величина целая.
Считаем герб успехом. Число испытаний n = 5, число успехов k = 3; у честной монеты p = 1/2 и q = 1/2. Эти данные соответствуют схеме Бернулли.
Подставляем значения в формулу: P₅(3) = C₅³ · (1/2)³ · (1/2)². Сочетаний C₅³ = 10, потому что нужно выбрать три броска из пяти, в которых выпадет герб.
Вычисляем: P₅(3) = 10 · (1/2)⁵ = 10/32 = 5/16 = 0,3125. Так учтены все порядки, в которых герб может выпасть три раза.
Ответ: 5/16, или 0,3125.
Успехом считаем появление брака. Тогда p = 0,02, q = 1 − 0,02 = 0,98, а число испытаний n = 10. Условие независимости позволяет рассматривать изготовление каждой детали как отдельное испытание.
Событие «хотя бы одна бракованная деталь» проще заменить противоположным: «бракованных деталей нет». Вероятность отсутствия брака равна 0,98¹⁰, поскольку все десять деталей должны оказаться годными.
Вычитаем вероятность противоположного события из единицы: P = 1 − 0,98¹⁰ ≈ 1 − 0,8171 = 0,1829. Значит, вероятность хотя бы одной бракованной детали составляет примерно 18,29%.
Ответ: 1 − 0,98¹⁰ ≈ 0,1829, или 18,29%.
Попадание считаем успехом, поэтому p = 0,7, а число интересующих успехов k = 4. По правилу для наиболее вероятного числа успехов значение 4 должно быть целой частью (n + 1)p; случай целого значения также проверяем.
Для того чтобы 4 было наиболее вероятным числом успехов, нужно 4 ≤ 0,7(n + 1) ≤ 5. Делим на 0,7: 5,714… ≤ n + 1 ≤ 7,142…. Следовательно, n + 1 может быть равным 6 или 7.
Значит, подходят n = 5 и n = 6. При пяти выстрелах (n + 1)p = 4,2, поэтому наиболее вероятное число попаданий — 4; при шести выстрелах значение равно 4,9, и наиболее вероятны также 4 попадания.
Ответ: при 5 или 6 выстрелах.
Считать испытания независимыми только потому, что они повторяются. Повторение само по себе не исключает влияния предыдущего результата: например, если предметы выбирают без возвращения, состав оставшихся меняется. Проверьте, остаются ли вероятности исходов прежними после каждого результата.
Забывать множитель Cₙᵏ. Тогда получается вероятность одной последовательности, а не всех вариантов с k успехами. Для самопроверки перечислите возможные места успехов или спросите себя, учитывает ли вычисление их перестановки.
Подставлять p вместо q или неверно считать неуспехи. В последовательности с k успехами неуспехов n − k, а их вероятность q = 1 − p. Перед вычислением отдельно запишите p, q и число каждого исхода; степени в формуле должны в сумме давать n.
Путать «ровно k» с «хотя бы k». Формула Бернулли с одним значением k даёт вероятность ровно k успехов, а не сумму нескольких случаев. Если требуется «хотя бы», перечислите нужные значения от k до n или рассмотрите противоположное событие.
Для применения формулы нужны сочетания, правило умножения вероятностей независимых событий и противоположные события. Эти инструменты связывают классическую вероятность с комбинаторным подсчётом: вероятность одной последовательности умножают на число вариантов её расположения. Схема Бернулли становится основой для изучения биномиального распределения и помогает оценивать число успешных исходов в статистике. Она также применима к бытовым и техническим задачам — например, о попаданиях или доле брака.
В схеме Бернулли испытания независимы, а вероятность успеха p постоянна.
Вероятность неуспеха равна q = 1 − p.
Вероятность одной последовательности с k успехами и n − k неуспехами равна pᵏqⁿ⁻ᵏ.
Вероятность ровно k успехов равна Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
Вероятность хотя бы одного успеха равна 1 − qⁿ.
Для поиска наиболее вероятного числа успехов используют величину (n + 1)p.
Почему в независимых испытаниях вероятности перемножаются?
При независимости наступление одного результата не меняет вероятность следующего. Поэтому вероятность совместного наступления событий равна произведению их вероятностей. Для последовательности исходов это даёт произведение вероятностей успехов и неуспехов.
Чем вероятность ровно k успехов отличается от вероятности хотя бы k успехов?
«Ровно k» означает только один вариант числа успехов. «Хотя бы k» включает k, k + 1 и все большие возможные числа вплоть до n. Поэтому для второго события складывают вероятности нескольких случаев или используют противоположное событие.
Зачем в формуле Бернулли нужен биномиальный коэффициент?
Вероятность pᵏqⁿ⁻ᵏ относится к одной конкретной последовательности исходов. Но k успехов могут стоять на разных местах, и таких последовательностей Cₙᵏ. Биномиальный коэффициент учитывает все эти варианты.
Как понять, какое событие считать успехом?
Успехом называют событие, число появлений которого требуется исследовать. Например, если спрашивают о количестве бракованных деталей, успехом удобно считать появление брака. Это условное название: вероятности других исходов от него не меняются.
Когда можно применять формулу Бернулли?
Нужно, чтобы было задано число испытаний, каждое испытание имело два рассматриваемых исхода, а вероятность успеха оставалась постоянной. Испытания должны быть независимыми: результат одного не должен влиять на шансы в остальных. Если хотя бы одно условие нарушено, формула может не подходить.
§ 2. Независимые испытания
