"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Теоремы сложения связывают значения тригонометрических функций суммы или разности углов со значениями этих функций для отдельных углов. С их помощью можно вычислять синусы и косинусы нестандартных углов, преобразовывать выражения и получать формулы двойного угла. Главные формулы нужно различать по знакам: у косинуса суммы перед произведением синусов стоит минус, а у тангенса суммы знак в знаменателе противоположен знаку в числителе. Для тангенса также проверяют область определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема сложения для синуса задаёт формулы sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Значит, для нахождения синуса суммы или разности нужны синусы и косинусы каждого угла, а не только синусы. Это удобно, когда угол сам по себе не табличный, но его можно разложить на знакомые углы.
Теорема сложения для косинуса записывается так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Обратите внимание: в сумме перед произведением синусов стоит минус, а в разности — плюс. Зная этот порядок, легче вычислять косинусы составных углов и не перепутать знаки.
Формула тангенса суммы имеет вид tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β). Она применима, когда tg α и tg β определены, а знаменатель 1 − tg α tg β не равен нулю. Последнее условие необходимо, потому что деление на ноль невозможно, а тангенс суммы в таком случае не определён.
Формула тангенса разности: tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β). Она связана с формулой суммы заменой β на −β; тангенсы обоих углов должны быть определены, а знаменатель — отличен от нуля. Условия можно также выразить через исходные углы: должны существовать tg(α − β), то есть cos(α − β) ≠ 0.
Синус и косинус угла можно понимать как координаты точки единичной окружности: cos α — абсцисса, а sin α — ордината. Если повернуть точку на угол β, её координаты изменятся по формулам поворота плоскости: новая абсцисса равна x cos β − y sin β, а новая ордината — x sin β + y cos β. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем координаты точки, соответствующей углу α + β. Так возникают формулы косинуса и синуса суммы.
Знак перед произведением синусов в косинусе суммы следует из формулы для новой абсциссы: при повороте часть исходной вертикальной координаты вносит вклад в горизонтальную со знаком минус. Поэтому cos(α + β) содержит −sin α sin β. Для разности знак становится положительным, поскольку замена β на −β меняет знак синуса второго угла, но не косинуса.
Формулы разности можно вывести и непосредственно из формул суммы. Вместо β подставляют −β, а затем используют чётность косинуса и нечётность синуса: cos(−β) = cos β, sin(−β) = −sin β. Например, sin(α − β) = sin α cos(−β) + cos α sin(−β), откуда получается sin α cos β − cos α sin β. Для косинуса та же замена приводит к знаку плюс перед произведением синусов.
Чтобы получить формулу тангенса суммы, делят формулу синуса суммы на формулу косинуса суммы. После деления числитель и знаменатель можно разделить на cos α cos β, если оба косинуса не равны нулю; тогда появляются tg α и tg β. В результате получается дробь с числителем tg α + tg β и знаменателем 1 − tg α tg β. Если знаменатель этой дроби равен нулю, косинус суммы равен нулю и тангенс суммы не существует; отдельно требуется, чтобы были определены исходные тангенсы.
Для тангенса разности применяют те же действия к формулам разности синуса и косинуса: делят их и сокращают на cos α cos β. При равных слагаемых в формулах синуса и косинуса получается двойной угол: sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos² α − sin² α. Если углы отличаются на π/2, теоремы сложения позволяют заменить синус косинусом или наоборот, например sin(α + π/2) = cos α и cos(α + π/2) = −sin α.
| Функция | Сумма углов | Разность углов | Условия применимости |
|---|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β | Формулы верны для любых действительных α и β |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β | Формулы верны для любых действительных α и β |
| Тангенс | tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β) | Тангенсы углов должны быть определены, знаменатель формулы не должен равняться нулю |
Сначала выберите строку с нужной функцией, затем — столбец, соответствующий сумме или разности углов. Для тангенса дополнительно проверьте область определения обоих тангенсов и знаменатель дроби. Формулы синуса и косинуса ограничений на α и β не требуют.
Выбираем представление 75° = 45° + 30°: для обоих углов известны точные значения синуса и косинуса. Поэтому подходит формула синуса суммы, в которой каждый угол входит и через синус, и через косинус.
Подставляем значения: sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°. Так как sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2, получаем (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2).
Перемножаем числители и складываем дроби: sin 75° = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4. Здесь плюс сохраняется, потому что во второй части формулы синуса суммы между произведениями стоит знак плюс.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Проверяем разложение: π/4 − π/6 = 3π/12 − 2π/12 = π/12. Для косинуса разности нужна формула cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. В ней перед произведением синусов стоит плюс.
Подставляем табличные значения: cos(π/12) = cos(π/4) cos(π/6) + sin(π/4) sin(π/6) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2). Оба слагаемых положительны, что согласуется с выбранной формулой.
Складываем результаты перемножения: cos(π/12) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4. Если бы здесь ошибочно поставили минус, получилось бы значение, не соответствующее косинусу малого положительного угла.
Ответ: cos(π/12) = (√6 + √2)/4.
Оба заданных тангенса существуют, поэтому исходное условие для углов выполнено. Для суммы используем дробь, у которой в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус их произведение.
Подставляем данные: tg(α + β) = (1/2 + 1/3)/(1 − (1/2)(1/3)). Числитель равен 5/6, знаменатель — 1 − 1/6 = 5/6, то есть он не равен нулю.
Делим 5/6 на 5/6 и получаем 1. Ненулевой знаменатель подтверждает, что формула применима и тангенс суммы определён; это можно проверить и по равенству cos(α + β) ≠ 0.
Ответ: tg(α + β) = 1.
В формулах косинуса часто переставляют знаки: пишут плюс для суммы и минус для разности. Это происходит, если запоминать формулы без связи между ними; проверьте себя заменой β на −β: у синуса β меняет знак, а у косинуса — нет.
Иногда считают, что sin(α + β) = sin α + sin β. Такая запись кажется правдоподобной по аналогии с обычным раскрытием суммы, но тригонометрическая формула содержит произведения синуса и косинуса. Для проверки подставьте α = β = 0: формула без произведений случайно сработает, поэтому надёжнее сверить её с формулой сложения или взять углы 30° и 30°.
В формуле тангенса разности можно ошибочно поставить минус в знаменателе. Помните, что знак в знаменателе противоположен знаку между тангенсами в числителе: для суммы это 1 − tg α tg β, для разности — 1 + tg α tg β. Самопроверка — заменить β на −β в формуле суммы.
Применение формулы тангенса без проверки знаменателя может привести к делению на ноль. Ошибку допускают, сосредоточившись только на подстановке значений тангенсов. Перед вычислением проверьте, что исходные тангенсы определены и знаменатель дроби не равен нулю; иначе тангенс результата не существует.
Перед изучением теорем сложения нужно знать значения синуса, косинуса и тангенса основных углов, а также чётность косинуса и нечётность синуса. Новые формулы помогают вывести формулы двойного угла, вычислять значения функций нестандартных углов и преобразовывать тригонометрические выражения. Они также нужны при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений, в которых аргумент функции представлен суммой или разностью углов.
Синус суммы раскрывается суммой двух произведений.
Косинус суммы содержит минус перед произведением синусов.
При переходе от суммы к разности знаки в формулах синуса и косинуса меняются по-разному.
Формулы тангенса получают делением формулы синуса на формулу косинуса.
В формуле тангенса суммы знаменатель равен 1 − tg α tg β.
Перед применением формул тангенса нужно проверить, что знаменатель не равен нулю.
Как запомнить знаки в формулах синуса и косинуса суммы?
В синусе суммы оба слагаемых положительные: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. В косинусе суммы между произведениями стоит минус: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Почему в формуле косинуса суммы стоит минус?
При повороте на угол α + β координаты точки на единичной окружности складываются по формулам поворота, и произведение синусов входит в координату x со знаком минус. Поэтому cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Как получить формулу разности из формулы суммы?
В формуле суммы заменяют β на −β. Затем используют cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β, то есть чётность косинуса и нечётность синуса.
Когда нельзя применять формулу тангенса суммы?
Её нельзя применять, если хотя бы один из тангенсов tg α или tg β не определён. Также знаменатель 1 − tg α tg β не должен равняться нулю: иначе тангенс суммы не определён.
Как выбрать разложение угла, чтобы удобнее вычислить синус или косинус?
Представьте угол суммой или разностью таких углов, для которых известны точные значения синуса и косинуса, например π/6, π/4 или π/3. Затем выберите формулу, соответствующую функции и знаку между углами.
5. Теоремы сложения
