4. Алгебра событий

Определения и обозначения

Случайное событие — результат опыта, который при его проведении может произойти, а может и не произойти; события принято обозначать заглавными латинскими буквами. Например, при броске кубика событием может быть выпадение чётного числа. Такое обозначение позволяет коротко записывать условия задач и затем выполнять операции над событиями.

Достоверное событие происходит при любом исходе опыта, а невозможное не происходит ни при каком; их обозначают соответственно Ω и ∅. При броске обычного кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверно, а «выпало 8» невозможно. Эти обозначения помогают учитывать крайние случаи и описывать всё пространство возможных исходов.

Сумма событий A + B — событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий A или B. Например, если A — выпало чётное число, а B — выпало число больше четырёх, сумма наступает при любом исходе, подходящем хотя бы под одно условие. Она нужна, чтобы записывать условие «A или B», не перечисляя его каждый раз словами.

Произведение событий A·B происходит, если происходят оба события, а противоположное событие Ā — если A не происходит. При броске кубика произведение событий «выпало чётное» и «выпало больше четырёх» наступает только при выпадении 6. Противоположное событие удобно для описания всех случаев, в которых исходное условие не выполнилось.

Как это устроено

Чтобы выполнять операции над событиями, удобно представить каждый исход опыта отдельным элементом множества, а событие — множеством тех исходов, при которых оно наступает. Например, при броске кубика пространство исходов — {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а событие «выпало чётное» — {2, 4, 6}. Такой переход к множествам помогает не полагаться на расплывчатое словесное описание и точно выяснять, какие случаи подходят.

Сумма событий соответствует объединению множеств исходов, потому что для неё достаточно, чтобы исход принадлежал хотя бы одному из двух множеств. Если он подходит сразу к обоим событиям, он всё равно входит в сумму: слово «или» здесь не исключает одновременное наступление. Поэтому при поиске A + B нужно собрать исходы A и B вместе, не теряя общие и не записывая их дважды.

Произведение событий соответствует пересечению множеств исходов: в него попадают только те исходы, которые принадлежат обоим множествам сразу. Это отражает смысл условия «A и B»: одного совпадения с A или одного совпадения с B недостаточно. На практике пересечение находят, сравнивая списки исходов и оставляя общие элементы.

Противоположное событие Ā включает все исходы пространства Ω, которые не входят в A. Поэтому вместе A и Ā охватывают каждый возможный исход: либо A произошло, либо нет; одновременно эти варианты невозможны. Отсюда следуют два полезных соотношения: A + Ā = Ω и A·Ā = ∅. Их используют, чтобы проверять описание событий и находить вероятность события через вероятность противоположного.

Два события называют несовместными, если у них нет общих исходов, то есть они не могут произойти одновременно. Именно поэтому их произведение равно ∅: условие «произошли оба» не выполняется ни при одном результате опыта. Несовместность определяется не тем, что события по-разному названы или описаны, а тем, пересекаются ли их множества исходов.

Операции над событиями

Пользуйся таблицей как переводом между словами задачи и обозначениями: «хотя бы одно» соответствует сумме, а «оба» — произведению. Для противоположного события ищи все исходы, оставшиеся за пределами A. Совместность проверяй по наличию общих исходов, а не по названиям событий.

Разбор задач

Кубик: чётное число или число больше четырёх

При броске кубика A — выпало чётное число, B — выпало число больше четырёх. Нужно описать A + B и A·B. Запишем исходы событий, а затем отдельно составим их объединение и пересечение, чтобы не перепутать условия «хотя бы одно» и «оба».

1. Пространство исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Тогда A = {2, 4, 6}, а B = {5, 6}.
2. Для суммы объединяем списки: подходят 2, 4, 5 и 6, то есть A + B = {2, 4, 5, 6}.
3. Для произведения оставляем только общие исходы двух событий. Общим является 6, поэтому A·B = {6}.

Ответ: A + B = {2, 4, 5, 6}, A·B = {6}. Обрати внимание: число 6 входит в сумму один раз, хотя подходит сразу под оба условия. В произведении остаётся именно оно, поскольку только при этом исходе оба события происходят одновременно.

Колода: дама или черва

Из колоды в 36 карт выбирают одну карту. A — выбрана дама, B — выбрана черва; требуется описать сумму и произведение и определить совместность. Перечислять все карты для суммы не обязательно: достаточно разделить их на подходящие категории и не забыть карту, которая удовлетворяет обоим условиям.

1. Событие A включает четыре дамы: треф, бубен, пик и червей. Событие B включает все девять червей.
2. В сумму входят все дамы и все червы: A + B = {дама треф, дама бубен, дама пик, дама червей, остальные червы}.
3. Общий исход только один — дама червей. Поэтому A·B = {дама червей}; так как пересечение не пусто, события совместны.

Ответ: A + B — выбрана дама или черва (включая даму червей), A·B — выбрана дама червей; события совместны. Проверка проста: если бы общих карт не было, выбрать одновременно даму и черву было бы нельзя. Но дама червей есть в колоде, значит одновременное наступление возможно.

Два броска монеты

Монету бросают дважды. A — орёл выпал ровно один раз, B — орёл выпал хотя бы один раз; нужно найти A + B, A·B, Ā и B̄. Запишем упорядоченные исходы, где первая буква обозначает результат первого броска, а вторая — второго: Ω = {ОО, ОР, РО, РР}.

1. Событие A = {ОР, РО}, а B = {ОО, ОР, РО}. Здесь О означает орла, Р — решку.
2. Все исходы A уже входят в B, поэтому A + B = {ОО, ОР, РО}. Общих исходов ровно два: A·B = {ОР, РО}.
3. Противоположное к A состоит из исходов, где орёл выпал не ровно один раз: Ā = {ОО, РР}. Противоположное к B — исход без орла: B̄ = {РР}.

Ответ: A + B = {ОО, ОР, РО}, A·B = {ОР, РО}, Ā = {ОО, РР}, B̄ = {РР}. Исход РР входит в оба противоположных события, потому что в нём A не происходит и орла нет. Сравни ответы с исходными множествами: каждое противоположное содержит ровно те исходы Ω, которые не входят в соответствующее событие.

Типичные ошибки

Ошибка: считать сумму требованием наступления обоих событий. Так бывает из-за привычки понимать «и» и «или» по-разному в разговорной речи, но сумма означает именно «A или B, возможно оба». Проверь себя на исходе, который подходит только событию A: он обязательно должен войти в A + B.

Ошибка: включать в произведение исходы, подходящие хотя бы к одному событию. Произведение называют так, будто речь идёт о результате двух действий, и это может запутать; ориентируйся на определение «оба одновременно». Для проверки сравни множества A и B и оставь в A·B только их общие элементы.

Ошибка: объявлять события несовместными лишь потому, что они различны. Разные условия могут выполняться в одном исходе, как в случае дамы и червы: обе характеристики относятся к даме червей. Перечисли общие исходы; несовместность есть только тогда, когда их нет вовсе.

Ошибка: путать Ā с невозможным событием. Противоположное событие содержит все исходы, при которых A не наступило, поэтому оно может быть непустым и вполне возможным. Проверь, что Ā составлено из элементов Ω, не входящих в A; невозможным оно будет только в особом случае A = Ω.

Связь с другими темами

Для работы с событиями нужно уметь описывать опыт и перечислять его исходы, а также находить объединение и пересечение множеств. Эти навыки связывают алгебру событий с основами теории множеств. Когда события записаны через сумму, произведение и противоположное событие, условия сложных случайных ситуаций становятся точными и компактными.

Такая запись понадобится при дальнейшем изучении вероятности: вероятности суммы, произведения и противоположного события можно находить, опираясь на отношения между событиями. Перечисление исходов и подсчёт подходящих случаев также связывают тему с комбинаторикой. Значит, операции над событиями служат языком, который объединяет описание случайного опыта и вычисления.

Что запомнить

• Событие можно представить как множество исходов опыта.
• A + B происходит, если происходит A или B, или оба события.
• A·B происходит, только если происходят и A, и B.
• Ā происходит тогда и только тогда, когда A не происходит.
• A и Ā несовместны, а их сумма — достоверное событие.
• Несовместные события не могут произойти одновременно.