"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Простейшее логарифмическое уравнение содержит логарифм с неизвестным аргументом или основанием. Его решение опирается на определение логарифма: равенство logₐ x = b означает, что x = aᵇ. Однако перейти к степенной форме недостаточно: нужно учитывать, что основание логарифма положительно и не равно 1, а аргумент положителен. Эти условия помогают отсеять посторонние корни и правильно решить даже уравнение с неизвестным под знаком логарифма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c означает aᶜ = b. Здесь a > 0, a ≠ 1, b > 0. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Это определение позволяет переводить логарифмическую запись в степенную и обратно.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма. Например, в уравнении log₃(2x − 1) = 2 неизвестное x находится в аргументе — выражении, записанном после знака логарифма. Чтобы решить такое уравнение, нужно выразить неизвестное и убедиться, что логарифм определён. Поэтому при решении учитывают ограничения для его основания и аргумента.
Простейшее логарифмическое уравнение — уравнение вида logₐ x = b, где a > 0, a ≠ 1. Неизвестным здесь является аргумент x, а основание a и значение логарифма b заданы. По определению уравнение можно заменить равенством x = aᵇ. Такая форма служит основой для решения более сложных уравнений, где вместо x стоит выражение с неизвестным.
Уравнение logₐ x = b сводится к равенству x = aᵇ, потому что логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?». Если ответ на этот вопрос равен b, то аргумент обязан быть равен степени aᵇ. Поэтому переход не является приближением или отдельным приёмом: он напрямую следует из определения логарифма. Например, из log₂ x = 3 получается x = 2³.
Ограничения a > 0 и a ≠ 1 нужны, чтобы логарифм имел смысл как функция от положительного аргумента. При основании 1 все целые степени дают только 1, а при отрицательном основании степени не определены для произвольных действительных показателей. Кроме того, логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому x > 0. Эти условия проверяют до или после преобразования, чтобы не решать выражение, которое изначально не имеет смысла.
Если уравнение имеет вид logₐ f(x) = b, то по определению логарифма получают f(x) = aᵇ. После этого решают полученное уравнение относительно x, но сохраняют исходное требование f(x) > 0. Причина в том, что преобразование убирает знак логарифма, а вместе с ним из записи исчезает условие существования аргумента. Поэтому найденные корни нужно сверить с ОДЗ — областью допустимых значений, то есть значениями, при которых исходное выражение определено.
Если неизвестное находится в основании, как в logₓ c = b, определение логарифма даёт xᵇ = c. Но x теперь не просто неизвестное число, а основание логарифма, и к нему применяются условия x > 0 и x ≠ 1. Также аргумент c должен быть положительным. Значит, сначала или в ходе решения записывают все эти ограничения, а затем оставляют лишь те корни степенного уравнения, которые им удовлетворяют.
Проверка ответа нужна потому, что преобразованное уравнение может допустить значения, запрещённые исходной записью. Например, уравнение со степенями иногда имеет несколько корней, хотя только некоторые из них могут быть допустимыми основаниями или аргументами логарифма. Подстановка найденных значений в исходное уравнение показывает, сохраняются ли условия существования логарифма. Так проверка помогает не включить в ответ посторонние корни.
| Вид уравнения | Ограничения | Переход к степенной форме | Решение |
|---|---|---|---|
| logₐ x = b | a > 0, a ≠ 1, x > 0 | x = aᵇ | x = aᵇ |
| logₐ f(x) = b | a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0 | f(x) = aᵇ | Решить f(x) = aᵇ и учесть ОДЗ |
| logₓ c = b | x > 0, x ≠ 1, c > 0 | xᵇ = c | Решить с учётом ограничений на x |
Сначала определи, где находится неизвестное: в аргументе или в основании. Затем выбери соответствующую строку таблицы и запиши ограничения. После перехода к степенной форме реши полученное уравнение и проверь корни по условиям исходного логарифма.
Задача 1. Решите уравнение log₂ x = 3. Здесь неизвестный x — аргумент логарифма, поэтому нужно найти число, которое получается при возведении 2 в третью степень. Затем проверим, что найденный аргумент положителен. Это условие необходимо для существования логарифма.
Ответ: 8.
Задача 2. Решите уравнение log₃(2x − 1) = 2. Неизвестное находится в выражении под логарифмом, значит, сначала заменим уравнение равенством степенной формы. При этом аргумент должен быть положительным: 2x − 1 > 0. После решения проверим найденное значение и по этому условию, и подстановкой в исходное уравнение.
Ответ: 5.
Задача 3. Решите уравнение logₓ 16 = 2. Здесь неизвестное служит основанием, поэтому нельзя забывать ограничения x > 0 и x ≠ 1. По определению логарифма основание x, возведённое во вторую степень, должно дать 16. Получим несколько корней степенного уравнения, а затем проверим, какие из них могут быть основанием.
Ответ: 4.
Первая ошибка — забыть, что аргумент должен быть положительным. Тогда за ответ можно принять корень уравнения f(x) = aᵇ, при котором f(x) ≤ 0 и исходный логарифм не существует. Такое случается, когда после перехода к степенной форме о начальной записи уже не вспоминают. Составь ОДЗ и проверь по ней каждый найденный корень.
Вторая ошибка — считать, что основанием может быть любое число. На самом деле оно должно быть положительным и не равным 1, иначе логарифм не определён. Часто ограничение упускают, потому что основание воспринимают как обычный коэффициент. Перед решением и при проверке ответа явно записывай a > 0 и a ≠ 1.
Третья ошибка — неверно записать степенную форму: вместо x = aᵇ написать aˣ = b. Путаница возникает из-за того, что в логарифмической записи числа стоят не в том порядке, в каком читают результат по определению. Проверяй переход фразой: «основание в степени, равной логарифму, равно аргументу». Значит, logₐ x = b превращается именно в aᵇ = x.
Четвёртая ошибка — оставить все корни уравнения с неизвестным основанием. Например, у x² = 16 есть два корня, но отрицательное число не может быть основанием логарифма. Причина в том, что при переходе к степенной форме ограничения на x могут исчезнуть из записи. Сверь каждый корень с условиями x > 0 и x ≠ 1, а также с допустимостью аргумента.
Для решения простейших уравнений нужно знать определение логарифма, свойства степеней и условия существования логарифма. Эти знания позволяют выполнить переход от логарифмической записи к степенной и проверить допустимость значений. Простейшие уравнения становятся основой для более сложных логарифмических уравнений, где используют свойства логарифмов и замену переменной. Переход между логарифмической и степенной формами также применяется при решении показательных уравнений.
Почему основание логарифма не может быть равно 1?
Если основание равно 1, то любая его степень равна 1. Поэтому получить разные положительные числа и определить логарифм с таким основанием нельзя.
Как проверить, что ответ простейшего логарифмического уравнения подходит?
Подставь найденное значение в исходное уравнение. Убедись, что аргумент логарифма положителен, а основание положительно и не равно 1.
Что делать, если под логарифмом стоит выражение с неизвестным?
Сначала запиши условие, что выражение под логарифмом больше нуля. Затем замени уравнение logₐ f(x) = b равносильным уравнением f(x) = aᵇ и проверь найденные корни по условию.
Почему при решении нужно записывать ОДЗ?
ОДЗ — область допустимых значений, то есть значения неизвестного, при которых исходное выражение имеет смысл. Без неё можно принять за ответ корень преобразованного уравнения, при котором логарифм не определён.
Как решать уравнение, если неизвестное стоит в основании логарифма?
Запиши ограничения на основание: оно должно быть положительным и не равным 1. Перейди к степенной форме, реши полученное уравнение и оставь только корни, удовлетворяющие ограничениям и условию положительности аргумента.
6.2. Простейшие логарифмические уравнения
