"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Показательное уравнение — это уравнение, где неизвестное находится в показателе степени. В простейшем случае оно имеет вид aˣ = b: нужно выяснить, в какую степень возвести положительное число a, чтобы получить b. При a > 0 и a ≠ 1 положительная правая часть даёт ровно один корень, а нулевая или отрицательная — ни одного. Главный приём решения — представить обе части степенями одного основания и приравнять показатели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени. Например, в равенстве 2ˣ = 8 неизвестным является x, а основание степени равно 2. Такое название помогает отличить эти уравнения от тех, где неизвестное стоит, например, в основании или под знаком корня.
Простейшее показательное уравнение имеет вид aˣ = b, где a — заданное основание, x — неизвестный показатель, а b — заданное число. Нужно найти показатель, при котором степень числа a равна b. Эта запись служит отправной точкой для более сложных уравнений.
Для основания требуется a > 0 и a ≠ 1. При a = 1 левая часть 1ˣ всегда равна 1 и не зависит от x, а при a ≤ 0 степень с произвольным действительным показателем в обычном школьном курсе не определена. Эти условия позволяют применять свойства показательной функции.
Корнем уравнения называют значение неизвестного, при подстановке которого равенство становится верным. Например, если при подстановке найденного x левая и правая части совпали, значение является корнем. Проверка подстановкой помогает обнаружить ошибку в преобразованиях.
В уравнении aˣ = b неизвестное x отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b? Например, для 2ˣ = 8 нужно вспомнить, что 2³ = 8, поэтому подходящий показатель равен 3. Такой смысл уравнения подсказывает основной способ решения: представить b как степень числа a.
При a > 0 и a ≠ 1 функция y = aˣ строго монотонна: при a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Поэтому одно значение b не может получиться при двух разных x — так обосновывается единственность корня. Кроме того, при изменении x функция принимает все положительные значения, значит, для любого b > 0 корень существует.
Если b > 0, уравнение aˣ = b имеет ровно один корень при допустимом основании. Если b = 0 или b < 0, корней нет: степень положительного числа всегда больше нуля. Это следует учитывать до преобразований, чтобы не искать показатель для невозможного равенства.
Когда правая часть уже представлена степенью того же основания, показатели можно приравнять. Например, из aˣ = aᶜ следует x = c, если a > 0 и a ≠ 1: строгая монотонность гарантирует, что разные показатели дают разные значения. Это правило превращает показательное уравнение в простое равенство для x.
Если основания пока разные, сначала преобразуют одну или обе части к степеням одного числа. Например, 8 можно записать как 2³, а 1/25 — как 5⁻². Основание при преобразовании должно оставаться положительным и отличным от единицы, а равенство степеней — сохраняться; только после этого приравнивают показатели.
Сначала проверь основание и правую часть, затем выбери способ решения по строке таблицы. При a = 1 нужно рассматривать постоянное выражение отдельно, а не применять правило для a ≠ 1. Таблица помогает сразу установить, существует ли корень.
| Условие | Что следует | Решение |
|---|---|---|
| a > 0, a ≠ 1, b > 0 | Правая часть положительна | Есть ровно один корень |
| a > 0, a ≠ 1, b = 0 | aˣ всегда больше нуля | Корней нет |
| a > 0, a ≠ 1, b < 0 | aˣ всегда больше нуля | Корней нет |
| a = 1 | 1ˣ = 1 при любом x | Если b = 1 — все действительные x; если b ≠ 1 — корней нет |
Решим уравнение 2ˣ = 8. Правая часть является степенью основания 2, поэтому нет необходимости вводить новые переменные или подбирать значения. После замены обеих частей степенями одного основания можно сравнить показатели.
Ответ: x = 3.
Теперь решим (⅓)^(2x − 1) = 27. Здесь основания выглядят разными, поэтому сначала представим 27 как степень числа ⅓. При переходе к обратному основанию показатель меняет знак: 27 = 3³ = (⅓)⁻³.
Ответ: x = −1.
В уравнении 5^(x − 2) = 1/25 правая часть является дробью, но её можно выразить степенью 5. Отрицательный показатель возникает потому, что дробь 1/25 обратна числу 25. После этого решение сводится к равенству показателей.
Ответ: x = 0.
Нельзя приравнивать показатели, если основания ещё различны: из 2ˣ = 8 сначала нужно получить 2ˣ = 2³. Ошибка возникает, когда правило запоминают без условия о совпадении оснований. Проверь запись: перед сравнением показателей основания слева и справа должны быть одинаковыми.
Уравнение aˣ = b при допустимом основании не имеет корня, если b ≤ 0. Иногда забывают, что степень положительного числа всегда положительна, и продолжают преобразования, хотя равенство невозможно. Сверь знак b с возможными значениями aˣ до начала решения.
Условие a ≠ 1 нельзя опускать: в уравнении 1ˣ = b левая часть постоянна. Это основание часто считают обычным и ошибочно заключают, что для b = 1 существует единственный корень. Проверь отдельно: при b = 1 подходят все действительные x, при b ≠ 1 решений нет.
При работе с дробным основанием и отрицательной степенью важно не менять выражение неверно. Например, (⅓)ˣ = 3ˣ — ошибка: верно (⅓)ˣ = 3⁻ˣ. Проверить себя можно, переписав ⅓ как 3⁻¹ и применив правило степени степени; знак показателя при этом сохраняется правильно.
Для преобразований понадобятся свойства степеней с целыми и рациональными показателями, в том числе правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Понятие функции и её монотонности объясняет, почему уравнение при b > 0 имеет единственный корень. Эти приёмы станут основой для более сложных показательных уравнений, а также задач на показательный рост и убывание.
Почему основание показательной функции должно быть положительным?
При положительном основании степень aˣ определена для любого действительного x и имеет положительное значение. Если основание отрицательное, выражение с произвольным действительным показателем в обычном школьном курсе не задаётся.
Почему основание не может равняться единице?
При a = 1 выражение 1ˣ всегда равно 1 и не зависит от x. Поэтому уравнение 1ˣ = 1 имеет все действительные числа корнями, а 1ˣ = b при b ≠ 1 корней не имеет.
Может ли простейшее показательное уравнение иметь отрицательный корень?
Да. Неизвестное x может быть отрицательным: например, 2ˣ = ½ имеет корень x = −1. Знак корня определяется значением правой части, а не тем, что неизвестное стоит в показателе.
Почему при отрицательной правой части уравнение не имеет решения?
При положительном основании значение aˣ всегда положительно при любом действительном x. Поэтому оно не может совпасть с отрицательным числом; ноль оно тоже не принимает.
Можно ли приравнивать показатели, если основания разные?
Нет, сначала нужно представить обе части степенями одного и того же основания. Лишь тогда из равенства степеней с основанием a > 0, a ≠ 1 можно заключить, что показатели равны.
6.1. Простейшие показательные уравнения
