"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства помогают находить неизвестные, которые стоят в показателе степени или входят в логарифм. Такие выражения встречаются при описании роста, убывания и других зависимостей. Главные инструменты решения — свойства степеней и логарифмов, переход к общему основанию и учёт монотонности функций. Для логарифмов сначала определяют допустимые значения, а найденные корни затем проверяют.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени. Основание степени должно быть положительным и отличным от 1, если мы используем свойства монотонности. Это позволяет решать уравнение сравнением показателей или другими преобразованиями степеней. Например, в 2ˣ = 8 неизвестное x стоит в показателе.
Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени. При его решении нужно учитывать, возрастает или убывает показательная функция. От этого зависит, сохраняется знак неравенства или меняется. Такой учёт помогает верно сравнить показатели.
Логарифмическое уравнение — уравнение с логарифмами, где неизвестное может находиться в основании или под знаком логарифма. До преобразований проверяют область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Это нужно, чтобы не принять за корень число, для которого логарифм не определён.
Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором есть логарифмы. При решении учитывают ОДЗ и направление монотонности логарифмической функции. Если основание больше 1, функция возрастает, а если основание между 0 и 1 — убывает. Поэтому сравнение аргументов может сохранить или изменить знак неравенства.
Если обе части показательного уравнения записаны как степени одного и того же основания, можно сравнить показатели. Причина в том, что при a > 0 и a ≠ 1 функция y = aˣ принимает каждое значение только при одном показателе: она строго возрастает или строго убывает. Поэтому равные значения такой функции имеют равные аргументы. Например, из 3ᵘ = 3ᵛ следует u = v.
Чтобы решить показательное неравенство, сравнивают показатели, но направление сравнения зависит от основания. При a > 1 увеличение x увеличивает aˣ, поэтому функция возрастает и знак неравенства сохраняется. При 0 < a < 1 увеличение x уменьшает aˣ: функция убывает, значит, при переходе к показателям знак меняется. Например, из (½)ᵘ < (½)ᵛ следует u > v.
Логарифм logₐx определён, когда a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Основание должно быть положительным, потому что вещественная показательная функция с таким основанием задаёт привычное соответствие между показателем и значением степени. Основание 1 не подходит: 1 в любой степени равно 1, и по значению степени нельзя восстановить показатель. Аргумент должен быть положительным, поскольку положительная степень положительного основания всегда положительна.
Свойства логарифмов позволяют собрать несколько логарифмов в один, если основания одинаковы и аргументы положительны. Сумма превращается в логарифм произведения: logₐu + logₐv = logₐ(uv); разность — в логарифм частного: logₐu − logₐv = logₐ(u/v). Это следует из того, что произведению степеней одного основания соответствует сумма показателей. Множитель перед логарифмом можно перенести в степень аргумента: k logₐu = logₐ(uᵏ).
ОДЗ проверяют до преобразований, потому что равносильность шагов зависит от того, где исходные выражения определены. Например, после объединения логарифмов уравнение может допускать решение, при котором один из первоначальных аргументов был неположительным. При решении неравенства также нужно ограничить переменную положительными аргументами и учесть монотонность. Поэтому в конце корни или промежутки обязательно сверяют с исходными условиями.
| Вид выражения | Условия | Основной приём | Результат или изменение знака |
|---|---|---|---|
| Показательное уравнение aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1 | Приравнять показатели | f(x) = g(x) |
| Показательное неравенство при a > 1 | Функция возрастает | Сравнить показатели | Знак неравенства сохраняется |
| Показательное неравенство при 0 < a < 1 | Функция убывает | Сравнить показатели | Знак неравенства меняется |
| Логарифмическое уравнение | Основание положительно и не равно единице; аргументы положительны | Использовать свойства логарифмов или перейти к показательной форме | Получить уравнение относительно аргумента |
| Логарифмическое неравенство при a > 1 | Аргументы положительны | Сравнить аргументы | Знак сохраняется |
| Логарифмическое неравенство при 0 < a < 1 | Аргументы положительны | Сравнить аргументы | Знак меняется |
Сначала найдите тип выражения и проверьте условия, указанные во втором столбце. Затем примените соответствующий приём, не забывая, что при основании меньше 1 знак неравенства меняется. Для логарифмических задач отдельно запишите ОДЗ и в конце сверьте с ней ответ.
Задача 1. Решить уравнение 3²ˣ⁻¹ = 27. Правая часть не записана как степень с основанием 3, поэтому сначала представим её в удобном виде. После этого применим свойство показательной функции с одинаковым основанием. Полученное линейное уравнение решим обычным способом.
Ответ: x = 2.
Задача 2. Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. До объединения логарифмов выясним, где определены оба выражения. Затем используем свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями и решим уравнение. Последним шагом проверим найденное значение по исходной ОДЗ.
Ответ: x = 3.
Задача 3. Решить неравенство log₍₁⁄₃₎(x − 1) ≤ log₍₁⁄₃₎(5 − x) + 1. Сначала определим допустимые x для обоих логарифмов. Чтобы объединить выражения, запишем 1 как логарифм с тем же основанием. Поскольку основание меньше 1, при сравнении аргументов знак неравенства изменится.
Ответ: 2 ≤ x < 5.
Не составляют ОДЗ. Тогда в ответ могут попасть значения, при которых логарифм не определён. Ошибка возникает, когда сразу начинают преобразования, не проверив аргументы. Проверяй условия положительности до решения и пересекай с ними итоговый ответ.
Не меняют знак при основании между 0 и 1. Это приводит к противоположному результату, потому что соответствующая функция убывает. Часто правило запоминают только для возрастающих функций. Перед сравнением показателей или аргументов выясни, больше основание 1 или меньше.
Приравнивают показатели при разных основаниях. Равенство степеней не означает равенства показателей, если основания различны. Ошибка появляется из-за привычного правила для одинаковых оснований. Сначала приведи обе части к одной основе и проверь, что она положительна и не равна 1.
Неправильно применяют свойства логарифмов. Сумма логарифмов связана с произведением аргументов, а разность — с частным, но не с суммой или разностью аргументов. Например, logₐu + logₐv = logₐ(uv), а не logₐ(u + v). Проверяй преобразование по формуле и удостоверяйся, что аргументы положительны.
Для решения этих задач нужны свойства степеней и определение логарифма. Также следует знать свойства логарифмов и понимать монотонность показательной и логарифмической функций: именно она объясняет, почему знак неравенства иногда меняется. Эти знания пригодятся при решении систем уравнений и неравенств, изучении производных показательной и логарифмической функций. Они также используются в математических моделях роста и убывания, например при описании изменения величин со временем.
Почему в логарифмическом уравнении обязательно составлять ОДЗ?
Логарифм определён только тогда, когда его основание положительно и не равно 1, а аргумент положителен. Если преобразовать уравнение без этих условий, можно получить значение, при котором исходное выражение не существует. Поэтому корни проверяют на соответствие ОДЗ.
Когда при решении неравенства нужно менять знак?
Знак меняют при сравнении значений убывающей функции. Для показательной или логарифмической функции это происходит, когда основание лежит между 0 и 1. При основании больше 1 функция возрастает, поэтому знак сохраняется.
Можно ли приравнять показатели, если основания степеней разные?
Нет, непосредственно приравнивать показатели можно, когда обе части записаны с одним и тем же основанием a, где a > 0 и a ≠ 1. Если основания различаются, сначала попробуйте представить их как степени общего основания. Иначе равенство показателей не следует из равенства степеней.
Почему после преобразований логарифмического уравнения появляются посторонние корни?
Некоторые преобразования могут расширить множество допустимых значений: например, после снятия логарифмов полученное уравнение уже не содержит условия положительности аргументов. Поэтому найденное число может удовлетворять преобразованному уравнению, но не исходному. Проверка ОДЗ и подстановка в исходное выражение отсекают такие корни.
Как понять, какое свойство логарифмов применить первым?
Сначала проверьте ОДЗ и посмотрите, какие операции стоят между логарифмами. Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями объединяют через произведение аргументов, разность — через частное, а множитель перед логарифмом переносят в показатель степени аргумента. Если логарифм один, часто удобнее перейти к показательной форме.
§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
