"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства содержат неизвестное в показателе степени или под знаком логарифма. Их решают с помощью свойств степеней и логарифмов, замены переменной и монотонности функций. Главное — следить за допустимыми значениями: основание степени должно быть положительным, аргумент логарифма — положительным, а при сравнении выражений учитывать, возрастает или убывает функция. Это помогает находить корни и промежутки решений без потери или добавления лишних значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени, например 2ˣ = 8. Если при решении нужно логарифмировать, основание степени a должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1. Эти ограничения позволяют использовать логарифм и однозначно связать степень с её показателем.
Логарифмическое уравнение содержит логарифм, в аргументе или основании которого есть неизвестное: например, log₂(x − 1) = 3. Для logₐb основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент — положительным: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Эти условия задают область допустимых значений (ОДЗ) — значения неизвестного, при которых исходное уравнение имеет смысл.
Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестное входит в показатель степени, например 3ˣ > 9. Чтобы сравнить показатели, нужно знать, возрастает или убывает функция aˣ. При основании больше 1 она возрастает, а при основании от 0 до 1 — убывает, поэтому направление сравнения зависит от основания.
Логарифмическое неравенство — неравенство, содержащее логарифм с неизвестным в аргументе или основании. Сначала учитывают ОДЗ, затем используют монотонность логарифмической функции: при основании больше 1 она возрастает, при основании между 0 и 1 — убывает. Это позволяет перейти к сравнению аргументов, сохранив или изменив знак неравенства.
Если положительные числа aˣ и aʸ равны, то их показатели равны: x = y. Это верно потому, что при a > 0 и a ≠ 1 функция aˣ принимает каждое своё положительное значение только при одном показателе. При сравнении степеней работает та же идея, но направление сравнения зависит от поведения функции: при a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.
Уравнение aˣ = b можно решить логарифмированием: x = logₐb. Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b. Но этот переход имеет смысл только при a > 0, a ≠ 1 и b > 0, поэтому условия проверяют до вычислений; если b неположительно, равенство с положительной степенью aˣ невозможно.
Свойства логарифмов позволяют объединять слагаемые, например logₐu + logₐv = logₐ(uv), если u > 0 и v > 0. После такого преобразования уравнение часто становится проще и сводится к сравнению аргументов или к алгебраическому уравнению. Однако преобразование может скрыть первоначальные ограничения на аргументы, поэтому все найденные значения сверяют с ОДЗ и подставляют в исходное уравнение.
Если в уравнении встречаются степени с одним и тем же основанием, удобно ввести новую переменную t = aˣ. Тогда, например, выражение a²ˣ становится t², и показательное уравнение превращается в алгебраическое. Поскольку aˣ > 0 при любом действительном x и положительном a, обязательно сохраняют условие t > 0 и отбрасывают неподходящие корни алгебраического уравнения.
Неравенства решают, опираясь на монотонность: возрастающая функция сохраняет порядок, а убывающая меняет его. Поэтому при основании a > 1 переход от aˣ > aʸ к x > y сохраняет знак, а при 0 < a < 1 получается x < y. То же правило применяют к логарифмам с одним основанием, предварительно проверив положительность аргументов и допустимость основания.
| Тип задачи | Основной приём | Что проверить | Особенность сравнения |
|---|---|---|---|
| Показательное уравнение | Привести степени к общему основанию или логарифмировать | При логарифмировании: a > 0, a ≠ 1, правая часть положительна | Равные степени с одинаковым допустимым основанием имеют равные показатели |
| Показательное неравенство | Сравнить показатели или сделать замену t = aˣ | Основание положительно; при замене t > 0 | При a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 меняется |
| Логарифмическое уравнение | Использовать свойства логарифмов и перейти к равенству аргументов | ОДЗ для каждого аргумента и основания; корни проверить | При одинаковом основании равенство логарифмов означает равенство аргументов |
| Логарифмическое неравенство | Перейти к сравнению аргументов | ОДЗ и основание логарифма | При основании больше 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 меняется |
Сначала определите тип задачи, затем выберите подходящий приём и отдельно выполните проверки из третьего столбца. Последний столбец особенно полезен для неравенств: именно там легко потерять решение, если не учесть монотонность.
Задача 1. Решить уравнение 2^(x+1) = 8. Здесь обе части можно записать как степени числа 2, поэтому логарифмирование не требуется. После приведения к общему основанию равенство сводится к уравнению для показателей.
Ответ: x = 2. При одинаковом основании задача решилась сравнением показателей. Проверка подстановкой подтверждает равенство исходных частей.
Задача 2. Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Свойство суммы логарифмов можно применить только к положительным аргументам. Поэтому сначала найдём ОДЗ, а затем проверим корни преобразованного уравнения.
Ответ: x = 3. Значение −3 появилось при решении преобразованного уравнения, но нарушает ОДЗ. Именно поэтому проверка корней — обязательная часть решения.
Задача 3. Решить неравенство 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≤ 0. В выражении есть степени 4ˣ и 2ˣ, причём 4ˣ = (2ˣ)². Замена t = 2ˣ превратит неравенство в квадратное, а условие t > 0 ограничит допустимые значения новой переменной.
Ответ: x ∈ [0; 2]. Границы включены, поскольку исходное неравенство нестрогое. Возвращаясь от t к x, мы использовали возрастание функции 2ˣ и не меняли направление знака.
При переходе от aᵘ = aᵛ к u = v иногда забывают проверить основание. Без условий a > 0 и a ≠ 1 такой переход может быть недопустим. Перед сравнением показателей выпишите ограничение на основание и убедитесь, что оно выполнено.
В логарифмическом уравнении применяют свойства логарифмов, не записав положительность аргументов, а затем принимают все корни преобразованного уравнения. Так появляются посторонние значения, при которых исходный логарифм не существует. Сначала составьте ОДЗ, после решения проверьте каждый корень и подстановкой в исходное уравнение.
В неравенстве с основанием 0 < a < 1 направление знака иногда оставляют прежним. Причина ошибки — правило запоминают только для возрастающей функции aˣ. Сначала определите, возрастает функция или убывает: для убывающей при переходе к показателям знак меняется.
При замене aˣ = t можно забыть, что t > 0, или неверно перевести промежуток для t обратно в промежуток для x. Тогда в ответ попадут значения, которые не могут быть степенью, либо нарушится порядок границ. Проверьте положительность t и учитывайте монотонность aˣ при возвращении к x.
Для решения этих задач нужны свойства степеней и логарифмов, понимание области определения логарифма и навыки решения алгебраических уравнений и неравенств. Тема опирается на монотонность показательной и логарифмической функций, а значит, связывает преобразования выражений с их графическими свойствами. Эти приёмы пригодятся при исследовании функций и решении смешанных уравнений. Замена переменной и проверка ОДЗ применяются и в более сложных задачах.
Почему основание логарифма не может быть равно 1?
При основании 1 значение 1ˣ равно 1 при любом x, поэтому функция не различает аргументы и не имеет обратной функции. Кроме того, выражение log₁b не определено как логарифм.
Когда при решении показательного уравнения нужно логарифмировать обе части?
Логарифмирование удобно, когда уравнение имеет вид aˣ = b и правую часть нельзя представить как степень основания a. Перед этим проверьте, что a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Почему в логарифмическом уравнении обязательно записывать ОДЗ?
Логарифм существует только при положительном аргументе, поэтому некоторые значения неизвестного исходное уравнение не допускает. Преобразования могут привести к корням, которые нарушают это условие, и их нужно исключить.
Когда при решении показательного неравенства меняется знак?
Если основание степени находится между 0 и 1, функция aˣ убывает, поэтому при сравнении показателей направление неравенства меняется. При a > 1 функция возрастает и знак сохраняется.
Зачем при замене aˣ=t отдельно указывать условие t>0?
При a > 0 значение степени aˣ всегда положительно, поэтому замена t = aˣ допускает только t > 0. Условие помогает правильно решить неравенство для t и не принять недостижимые значения.
§ 2. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
