1. Простейшие показательные уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени. В простейшем случае оно имеет вид aˣ = b, где a > 0 и a ≠ 1. Например, в уравнении 2ˣ = 8 неизвестное x находится именно в показателе. Это обозначение помогает сразу увидеть, что обычное решение линейных уравнений здесь не подходит.

Простейшее показательное уравнение — уравнение aˣ = b с известным основанием a и числом b в правой части. Его решение зависит от знака b: значение показательной степени не бывает отрицательным или нулевым. Поэтому сначала проверяют, что b > 0, и только потом ищут показатель. Такая проверка позволяет сразу отбросить уравнения без решений.

Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестное входит в показатель степени. Простейшие варианты записывают как aˣ > b или aˣ < b. Чтобы найти значения x, сравнивают степень с числом b, учитывая поведение функции. Условие на основание определяет, сохранится ли знак неравенства при переходе к показателям.

Показательная функция — функция y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Она принимает только положительные значения, а её график проходит через точку (0; 1), поскольку a⁰ = 1. При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Эти свойства объясняют, почему уравнение с положительной правой частью имеет одно решение и как преобразовывать неравенства.

Как это устроено

Основание a должно быть положительным, потому что степень с произвольным действительным показателем определена для положительного основания. Например, выражение (−2)ˣ не имеет действительного значения при многих x, поэтому оно не задаёт функцию на всей числовой прямой. Основание 1 исключают по другой причине: 1ˣ всегда равно 1. Такой случай не даёт возрастающей или убывающей зависимости и требует отдельного разбора.

В уравнении aˣ = b сначала проверяют правую часть. Если b ≤ 0, решений нет, так как степень положительного основания всегда положительна. Если b > 0, подходящее значение x существует и только одно: x = logₐ b. Логарифм здесь отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b.

Когда основания одинаковы, равенство aᵘ = aᵛ позволяет заключить, что u = v. Причина в том, что при a > 0 и a ≠ 1 функция y = aˣ строго монотонна: разные показатели дают разные значения. Поэтому каждое положительное число получается как значение этой функции только при одном x. Если основания разные, приравнивать показатели нельзя, пока выражения не приведены к одному основанию.

При a > 1 показательная функция возрастает: если показатель увеличивается, значение степени тоже увеличивается. Поэтому из aˣ > b при b > 0 следует x > logₐ b, а из aˣ < b — x < logₐ b. Граница решений получается из равенства aˣ = b. Такой переход сохраняет знак неравенства по той же причине, по которой сохраняется порядок при применении любой возрастающей функции.

При 0 < a < 1 функция убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. Значит, из aˣ > b следует x < logₐ b, а из aˣ < b — x > logₐ b. Знак меняется именно потому, что порядок значений функции противоположен порядку показателей. Перед записью ответа полезно проверить направление на простом примере, например сравнить (½)⁰ и (½)¹.

Решение простейших показательных уравнений и неравенств

В таблице собраны правила для уравнения aˣ = b и неравенства aˣ > b при b > 0. Сначала найдите условие на основание, затем примените подходящую строку. Если правая часть неположительна, отдельно воспользуйтесь последней строкой.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 2ˣ = 8. Правая часть является целой степенью основания 2, поэтому удобно переписать её в таком же виде. После этого одинаковые основания позволят сравнить показатели. Проверим полученное значение подстановкой.

1. Представим 8 как степень числа 2: 8 = 2³.
2. Получаем равенство 2ˣ = 2³. Основания положительны и одинаковы, а функция 2ˣ взаимно однозначна.
3. Приравниваем показатели: x = 3.

Ответ: x = 3. Проверка: 2³ = 8, значит найденное значение подходит.

Задача 2. Решить неравенство (⅓)ˣ > 9. Здесь основание меньше единицы, поэтому функция убывает. Сначала представим число 9 как степень основания ⅓, а затем сравним показатели, изменив направление знака. Такая последовательность не позволяет потерять важное свойство функции.

1. Запишем 9 с основанием ⅓: 9 = 3² = (⅓)⁻².
2. Получаем (⅓)ˣ > (⅓)⁻². Так как 0 < ⅓ < 1, при сравнении показателей знак неравенства меняется.
3. Следовательно, x < −2.

Ответ: x < −2. Например, при x = −3 левая часть равна 27, что больше 9; это согласуется с ответом.

Задача 3. Решить уравнение 5²ˣ⁻¹ = 1/25. Чтобы сравнить показатели, нужно получить одинаковые основания. Число 1/25 можно выразить степенью пятёрки с отрицательным показателем. Затем останется решить линейное уравнение относительно x.

1. Представим правую часть как степень числа 5: 1/25 = 5⁻².
2. Запишем равенство 5²ˣ⁻¹ = 5⁻² и приравняем показатели: 2x − 1 = −2.
3. Прибавим 1 к обеим частям: 2x = −1. Разделим на 2 и получим x = −½.

Ответ: x = −½. Подстановка даёт показатель 2 · (−½) − 1 = −2, поэтому левая часть равна 5⁻² = 1/25.

Типичные ошибки

Не проверяют знак b. Иногда пытаются искать показатель для отрицательного или нулевого значения b, хотя aˣ всегда положительно при допустимом основании. Ошибка возникает, если сразу начинают преобразовывать уравнение и забывают о свойствах степени. Перед решением проверьте знак правой части: при b ≤ 0 уравнение решений не имеет.

Сохраняют знак при основании меньше единицы. Учащиеся нередко переносят правило для возрастающей функции на случай 0 < a < 1. Причина — в том, что сравнение степеней внешне напоминает обычное сравнение чисел. Проверьте, возрастает или убывает y = aˣ: если основание меньше единицы, знак при переходе к показателям нужно изменить.

Приравнивают показатели при разных основаниях. Из равенства aᵘ = cᵛ нельзя заключить, что u = v, если a и c различны. Такое рассуждение кажется привычным после задач с одинаковыми основаниями, но основание — часть значения степени. Сначала представьте обе части как степени одного числа и только после этого сравнивайте показатели.

Используют недопустимое основание. Свойства показательной функции применяют только при a > 0 и a ≠ 1. Если это условие пропустить, можно делать выводы о выражении, которое не определено для всех действительных x, или о постоянной функции. Перед преобразованиями запишите и проверьте ограничения на основание.

Связь с другими темами

Для решения этих задач нужны свойства степеней: например, умение записать 8 как 2³ или 1/25 как 5⁻². Также пригодятся правила сравнения чисел и решение линейных уравнений, возникающих после приравнивания показателей. Эти знания помогают свести показательное уравнение к более знакомому виду.

Понятие логарифма даёт универсальную запись решения: x = logₐ b, даже если b не является целой степенью a. Простые правила о монотонности подготавливают к более сложным показательным уравнениям и неравенствам, где сначала приходится преобразовывать выражения или находить допустимые значения переменной.

Что запомнить

• Для показательной функции основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1.
• Для любого действительного x значение aˣ положительно.
• Уравнение aˣ = b имеет решение только при b > 0.
• При a > 1 функция y = aˣ возрастает.
• При 0 < a < 1 функция y = aˣ убывает.
• В неравенствах при основании меньше единицы знак при переходе к показателям меняется.