§ 44. Понятие предела функции

Определения и обозначения

Число A называют пределом функции f(x) при x → a, если значения f(x) можно сделать сколь угодно близкими к A, выбирая x достаточно близким к a, но не равным a. Это определение позволяет описывать поведение функции возле точки, даже если в самой точке с ней что-то не так. Поэтому при поиске предела исследуют значения вокруг a, а не только подстановку x = a.

Запись lim₍ₓ→ₐ₎ f(x) = A читают так: предел f(x) при x, стремящемся к a, равен A. Здесь x — аргумент, который приближается к a, а значения функции приближаются к A. Эта запись помогает чётко указать, к какой точке относится исследование и к какому числу стремятся значения.

Односторонний предел — предел, при котором аргумент приближается к точке только с одной стороны. Обозначения lim₍ₓ→ₐ−₎ f(x) и lim₍ₓ→ₐ+₎ f(x) означают приближение соответственно слева и справа. Они нужны, когда поведение функции по разные стороны от точки может различаться.

Предел функции на бесконечности — число A, к которому стремится f(x), когда x неограниченно возрастает или убывает. Записи lim₍ₓ→+∞₎ f(x) и lim₍ₓ→−∞₎ f(x) различают движение аргумента к большим положительным и большим отрицательным значениям. Такие пределы описывают поведение функции вдали от начала координат.

Как это устроено

Предел говорит о том, что происходит рядом с точкой, а не обязательно в ней. Значение f(a) может совпасть с пределом, отличаться от него или не существовать: точка a исключена из определения предела. Это различие позволяет заметить, например, что функция «подходит» к одному числу, хотя в самой точке не задана.

Смысл определения можно выразить через погрешность ε: какое бы малое положительное число ε ни задали, можно найти такую окрестность точки a, что при x ≠ a и достаточно близком к a будет выполняться |f(x) − A| < ε. Окрестность — это промежуток вокруг точки; чем меньше ε, тем ближе к A должны лежать значения функции. Такой способ точен: он превращает идею «сколь угодно близко» в условие, которое можно проверять.

То же поведение можно проверить с помощью последовательностей. Берут любую последовательность аргументов xₙ, которая стремится к a и не принимает значение a, и смотрят на последовательность f(xₙ). Если для любой такой последовательности значения стремятся к одному и тому же A, то это число является пределом функции. Причина в том, что последовательность позволяет приближаться к точке разными наборами значений; общий результат подтверждает независимость предела от выбранного пути.

Конечный предел в точке существует тогда и только тогда, когда существуют левый и правый пределы и они равны. Если значения функции подходят к разным числам с двух сторон, невозможно назвать одно число, к которому она приближается при движении к точке в целом. Поэтому для проверки общего предела одной стороны недостаточно.

При x → +∞ или x → −∞ аргумент уходит всё дальше в соответствующем направлении, а значения функции могут приближаться к некоторому числу A. Чтобы найти такой предел, изучают поведение f(x) при больших по модулю x, а не около одной конкретной точки. Функции не обязательно когда-либо принимать A: достаточно, чтобы их значения становились к нему сколь угодно близкими.

Виды предела функции и условия их существования

Сначала выбери строку по тому, как ведёт себя аргумент: подходит к точке с одной стороны, с обеих сторон или уходит на бесконечность. Для общего конечного предела в точке сравни значения пределов слева и справа. В последних двух случаях исследуй поведение функции именно в указанном направлении бесконечности.

Разбор задач

Предел линейной функции

Условие. Найти lim₍ₓ→₂₎ (3x + 1). Здесь функция задана выражением, которое определено при любом x. Поскольку линейная функция непрерывна, её значения при приближении x к 2 приближаются к значению в этой точке.

1. Подставляем x = 2 в выражение, так как оно определено: 3 · 2 + 1.
2. Выполняем вычисления: 6 + 1 = 7.
3. Полученное число и есть предел: lim₍ₓ→₂₎ (3x + 1) = 7.

Ответ: 7. Подстановка здесь сработала благодаря непрерывности линейной функции, а не потому, что предел всегда равен значению функции.

Предел кусочно заданной функции

Условие. Исследовать существование предела при x → 0, если f(x) = −1 при x < 0 и f(x) = 1 при x ≥ 0. Правило задания меняется в точке 0, поэтому отдельно проверим поведение значений по обе стороны. Значение f(0) = 1 само по себе ещё не определяет ответ.

1. При приближении к 0 слева аргумент остаётся меньше нуля, поэтому f(x) = −1. Следовательно, lim₍ₓ→₀−₎ f(x) = −1.
2. При приближении справа аргумент положителен, поэтому f(x) = 1. Значит, lim₍ₓ→₀+₎ f(x) = 1.
3. Сравниваем результаты: −1 ≠ 1. Односторонние пределы различаются, поэтому общего предела при x → 0 нет.

Ответ: предел не существует. Причина — разные значения, к которым функция приближается слева и справа.

Устранимое отсутствие значения в точке

Условие. Найти lim₍ₓ→₁₎ (x² − 1)/(x − 1), если x ≠ 1, и выяснить, может ли f(1) быть задано произвольно. Прямая подстановка даёт деление на ноль, поэтому сначала преобразуем выражение при допустимом x. Условие x ≠ 1 позволяет сократить общий множитель, не меняя значения функции в проколотой окрестности точки.

1. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
2. При x ≠ 1 сократим дробь: (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1.
3. Теперь при x → 1 выражение x + 1 стремится к 2. Следовательно, исходный предел равен 2.
4. Значение f(1) не влияет на этот результат, потому что предел рассматривает x, отличные от 1. Поэтому f(1) можно задать произвольно, либо оставить функцию неопределённой в этой точке.

Ответ: предел равен 2; значение функции при x = 1 может быть любым и на предел не повлияет.

Типичные ошибки

Считать предел равным f(a) по определению — ошибка: значение в точке может отсутствовать или быть другим. Обычно так рассуждают, потому что смешивают поведение рядом с точкой с поведением в самой точке. Проверь себя: отдельно установи предел и отдельно выясни, определена ли функция при x = a.

Подставлять x = a, не проверив, определено ли выражение, нельзя: в результате можно получить деление на ноль. Ошибка возникает из привычки находить предел простой подстановкой; но неопределённость при подстановке ещё не доказывает, что предела нет. Сначала проверь область допустимых значений, а затем попробуй преобразовать выражение для x ≠ a.

Проверять только одну сторону недостаточно для вывода о существовании общего предела. Функция может приближаться к одному числу слева и к другому справа, а привычная подстановка этого различия не показывает. Найди оба односторонних предела и убедись, что они равны.

Предел — не обязательно число, которого функция достигает. Значения могут всё ближе подходить к нему, так и не стать равными ему; путаница возникает из-за обычного смысла слова «достичь». Проверь формулировку определения: требуется сколь угодно малое расстояние до предела при подходящем x, но не равенство f(x) = A.

Связь с другими темами

Для работы с пределами нужны понятия окрестности точки, числовых неравенств и приближения последовательности к числу. Окрестность помогает говорить о значениях аргумента рядом с точкой, а неравенства — точно задавать допустимую близость. Последовательности дают другой способ проверить, к какому числу стремятся значения функции.

Предел — основа дальнейшего изучения непрерывности и производной. С его помощью описывают, как меняется поведение функции около точки и как связаны значения при близких аргументах. Пределы на бесконечности также помогают исследовать поведение функций при больших значениях аргумента.

Что запомнить

• Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не значение в самой точке.
• В определении предела аргумент не должен равняться точке, к которой он стремится.
• Для существования конечного предела в точке левый и правый пределы должны существовать и совпадать.
• Предел функции на бесконечности описывает её поведение при неограниченном росте или убывании аргумента.
• Один и тот же предел должен получаться при приближении к точке по любой допустимой последовательности аргументов.