"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Арифметические свойства пределов позволяют находить предел сложного выражения по пределам его частей. Если при x → a функции имеют конечные пределы, их можно складывать, вычитать и перемножать, а постоянный множитель — выносить за знак предела. Для частного требуется дополнительное условие: предел знаменателя должен быть отличен от нуля. Эти правила превращают вычисление пределов составных функций в последовательную замену частей выражения их предельными значениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Если lim при x → a f(x) = A и lim при x → a g(x) = B, то предел суммы равен сумме пределов: lim(f + g) = A + B. Это позволяет заменить каждую функцию её предельным значением и выполнить сложение.
При существовании конечных пределов f и g предел произведения равен произведению пределов: lim(fg) = AB. Правило нужно, чтобы находить предел выражения, состоящего из нескольких множителей.
Если lim f(x) = A и lim g(x) = B ≠ 0, то lim(f/g) = A/B. Условие B ≠ 0 обязательно: только тогда отношение предельных значений имеет смысл.
Предел постоянной c равен самой постоянной: lim c = c. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim(cf) = cA, если lim f = A. Это упрощает вычисления и отделяет число от функции.
Свойства пределов работают потому, что при приближении x к a значения каждой составляющей приближаются к своему пределу. Если две величины независимо приближаются к A и B, их сумма приближается к A + B. Поэтому для сложного выражения можно заменить пределы частей и выполнить ту же арифметическую операцию.
Разность рассматривают как сумму с противоположным числом: f(x) − g(x) = f(x) + (−1)g(x). Из правила суммы и свойства постоянного множителя получается lim(f − g) = A − B. Аналогично правило произведения применяют несколько раз, поэтому lim(fⁿ) = Aⁿ для натурального n.
В частном знаменатель должен приближаться к ненулевому числу B. Тогда около точки a он не становится равным нулю, а операция деления сохраняет понятный предельный результат A/B. Если B = 0, деление на предельное значение невозможно, и поведение дроби может быть различным.
В выражении с несколькими действиями свойства применяют по шагам. Сначала определяют пределы внутренних частей, затем используют скобки, степени, умножение и деление в обычном порядке. На каждом шаге проверяют, существуют ли нужные конечные пределы и не равен ли нулю предел знаменателя.
Нельзя автоматически пользоваться формулами, если предел одной из составляющих не существует. Даже существование отдельных выражений не всегда даёт готовый ответ при неопределённых сочетаниях вроде 0/0 или ∞ − ∞. В таких случаях сначала преобразуют выражение или применяют специальные способы исследования.
| Выражение | Условия | Предел |
|---|---|---|
| Постоянная c | x → a | lim c = c |
| Сумма f(x) + g(x) | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(f + g) = A + B |
| Разность f(x) − g(x) | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(f − g) = A − B |
| Произведение f(x)g(x) | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(fg) = AB |
| Произведение cf(x) | lim f(x) = A, c — постоянная | lim(cf) = cA |
| Частное f(x)/g(x) | lim f(x) = A, lim g(x) = B ≠ 0 | lim(f/g) = A/B |
В таблице сначала найдите вид операции, а затем проверьте условия в средней колонке. После этого замените пределы функций числами и выполните указанное действие.
Задача 1. Найдём lim при x → 2 выражения (x² + 3x) − 1. Здесь есть степень, сумма и постоянные слагаемые, поэтому выражение удобно разобрать по частям.
Ответ: 9.
Задача 2. Пусть lim f(x) = −2 и lim g(x) = 5 при x → a. Требуется найти lim[3f(x)g(x) + g(x)]. Сначала вычислим предел произведения, затем учтём постоянный множитель и сложение.
Ответ: −25.
Задача 3. Пусть lim f(x) = 4 и lim g(x) = −2. Найдём предел дроби (f² − g)/(g + 5) и проверим условие для знаменателя. Предел знаменателя равен −2 + 5 = 3, поэтому он ненулевой, и правило частного применимо.
Ответ: 6; правило частного применимо, поскольку предел знаменателя равен 3 ≠ 0.
Правило частного применяют, не проверив знаменатель. Так поступают, потому что вид дроби кажется достаточным основанием для деления пределов. Выпишите отдельно предел знаменателя и убедитесь, что он не равен нулю.
Предел произведения иногда ошибочно считают суммой пределов, а предел суммы — произведением. Причина обычно в смешении названий арифметических операций. Сверяйте знак операции в исходном выражении с формулой свойства.
Значения пределов подставляют без соблюдения порядка действий. Из-за этого, например, сложение выполняют раньше вычисления знаменателя или степени. Разбейте выражение на промежуточные части и рассчитывайте их по скобкам.
Делают вывод о пределе, если предел одной составляющей не существует. Арифметические свойства требуют существования соответствующих конечных пределов. Перед вычислением перечислите все функции, пределы которых используются.
Для применения свойств нужно знать определение предела функции в точке и уметь находить пределы простых функций. Именно эти базовые результаты становятся исходными данными для вычисления более сложных выражений.
Арифметические свойства используются при работе с рациональными и составными функциями. Они также помогают установить непрерывность функции: если составные части непрерывны и выполнены условия для деления, предел связан со значением функции в точке.
Можно ли найти предел суммы, если пределы обоих слагаемых существуют?
Да, если оба предела конечны. Предел суммы равен сумме пределов: lim(f(x) + g(x)) = A + B.
Почему при вычислении предела частного проверяют знаменатель?
Предел частного равен отношению пределов только при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Деление на ноль не определено, поэтому при нулевом пределе знаменателя это правило применять нельзя.
Можно ли вынести постоянный множитель за знак предела?
Да. Если lim f(x) = A, а c — постоянная, то lim(cf(x)) = cA.
Как найти предел произведения нескольких функций?
Нужно последовательно применить правило произведения. Предел произведения равен произведению пределов всех множителей, если эти конечные пределы существуют.
Что делать, если предел знаменателя равен нулю?
Нельзя сразу использовать правило предела частного. Нужно исследовать выражение другим способом: например, преобразовать дробь, сократить общий множитель или применить специальные методы.
§ 45. Некоторые свойства пределов функции
