§ 50. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определения и обозначения

Функция непрерывна на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой внутренней точке и непрерывна с одной стороны в концах: справа в a и слева в b. Иначе говоря, у границы отрезка рассматривают только те значения аргумента, которые принадлежат этому отрезку. Это условие позволяет изучать функцию на всём промежутке, не требуя её поведения за его пределами.

Функция ограничена на заданном множестве, если существуют постоянные числа m и M, между которыми заключены все её значения: m ≤ f(x) ≤ M. Границы можно понимать как нижний и верхний барьеры для значений функции. Ограниченность важна, но сама по себе не означает, что функция принимает значения m или M.

Наибольшее значение функции — такое значение, которое достигается в некоторой точке отрезка и не меньше всех остальных значений; наименьшее определяется аналогично и не больше остальных. Если f(x₁) = M, то M — наибольшее значение, а x₁ — точка его достижения. Эти понятия позволяют говорить о самых высоком и низком уровнях функции на всём отрезке.

Промежуточным называют значение C, лежащее между значениями функции на концах отрезка. Если функция непрерывна, то в некоторой точке c отрезка она принимает это значение: f(c) = C. Свойство помогает установить, что уравнение f(x) = C имеет решение, даже если точное значение c пока неизвестно.

Как это устроено

Внутри отрезка у каждой точки есть значения аргумента и слева, и справа, а у концов такой симметрии нет: часть соседних значений выходит за пределы рассматриваемого промежутка. Поэтому в точке a достаточно непрерывности справа, а в точке b — слева. Такое определение учитывает только поведение функции там, где она рассматривается, и не накладывает лишних условий за границами отрезка.

Почему непрерывность даёт ограниченность? На каждом участке без разрывов значения функции не могут совершить скачок, а замкнутый конечный отрезок нельзя продолжать бесконечно. Если бы значения не имели общей верхней или нижней границы, на отрезке нашлись бы точки с всё более крупными по модулю значениями; для непрерывной функции на замкнутом отрезке это невозможно. Поэтому существуют числа m и M, которые ограничивают все значения.

Ограниченность ещё не гарантирует, что границы достигаются: значения могут приближаться к некоторому числу, не становясь равными ему. На замкнутом отрезке непрерывность исключает такой «незакрытый край»: если бы наибольшего или наименьшего значения не было, можно было бы выбрать точки, где значения всё ближе к соответствующей границе. У этих точек можно выделить сходящуюся последовательность с пределом внутри отрезка, и непрерывность заставила бы функцию принять граничное значение в предельной точке. Значит, максимум и минимум существуют.

Чтобы понять теорему о промежуточных значениях, представьте, что график непрерывно соединяет точки с координатами (a; f(a)) и (b; f(b)). По пути от одного уровня к другому он не может перепрыгнуть через горизонтальную прямую y = C, если C находится между f(a) и f(b). Поэтому найдётся точка c, в которой график пересечёт эту прямую, то есть f(c) = C. Речь идёт о существовании точки, а не о способе сразу вычислить её координату.

Для уравнения f(x) = 0 достаточно проверить, что функция непрерывна на отрезке и её значения на концах имеют разные знаки: ноль лежит между ними. Тогда теорема гарантирует корень внутри отрезка. Если знаки одинаковы, это не означает, что корней нет, а если знаки разные — это ещё не доказывает, что корень единственный. Для единственности нужно дополнительное основание, например строгая монотонность функции.

Свойства функции, непрерывной на отрезке

Пользуясь таблицей, сначала проверьте условие: функция должна быть непрерывна именно на всём замкнутом отрезке. Затем выберите нужный вывод: ограниченность, достижение экстремума или существование точки с заданным промежуточным значением. Обозначения M и m в таблице относятся к наибольшему и наименьшему значениям, когда доказано, что они достигаются.

Разбор задач

Ограниченность и экстремумы

Докажем, что f(x) = x² + 2x + 3 ограничена на [−2; 1], и найдём её наибольшее и наименьшее значения. Это многочлен, поэтому функция непрерывна на всём отрезке; по теореме она ограничена и достигает обоих экстремальных значений. Чтобы найти их, выделим полный квадрат и сравним значения в критической точке и на концах.

1. Преобразуем выражение: f(x) = (x + 1)² + 2. Парабола направлена вверх, а вершина находится при x = −1, который принадлежит отрезку.
2. В вершине получаем f(−1) = 2. Так как квадрат неотрицателен, значение 2 является наименьшим.
3. Проверим концы: f(−2) = 3 и f(1) = 6. Самое большое из этих значений и значения в вершине равно 6.

Следовательно, функция ограничена: на отрезке 2 ≤ f(x) ≤ 6. Наименьшее значение равно 2, наибольшее — 6. Здесь теорема гарантирует существование экстремумов, а вычисления определяют, где именно они достигаются.

Существование корня по смене знака

Докажем, что уравнение x³ − 2x − 1 = 0 имеет корень на [1; 2]. Обозначим левую часть через f(x). Это многочлен, значит, он непрерывен на отрезке, и можно проверить знак значений на концах.

1. Вычислим f(1) = 1 − 2 − 1 = −2.
2. Вычислим f(2) = 8 − 4 − 1 = 3. Значения на концах имеют разные знаки, поэтому 0 находится между ними.
3. По теореме о промежуточных значениях существует c из (1; 2), для которого f(c) = 0. Это и есть корень исходного уравнения.

Мы доказали существование как минимум одного корня, но не установили, сколько их на отрезке. Смена знака сама по себе не доказывает единственность. Для этого понадобилось бы отдельно исследовать, например, монотонность функции.

Существование и единственность решения

Докажем, что уравнение cos x = x имеет единственный корень на [0; 1]. Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим g(x) = cos x − x. Функция непрерывна, поэтому сначала проверим существование корня, а затем отдельно — его единственность.

1. На концах g(0) = 1, а g(1) = cos 1 − 1 < 0, поскольку cos 1 < 1. Непрерывная функция меняет знак, значит, у неё есть корень внутри [0; 1].
2. Для x из [0; 1] производная g′(x) = −sin x − 1 < 0. Следовательно, g строго убывает на всём отрезке.
3. Строго убывающая функция может обратиться в ноль не более одного раза. Вместе с доказанным существованием это даёт ровно один корень.

Ответ: уравнение имеет единственный корень на [0; 1]. Теорема о промежуточных значениях обеспечила существование, а монотонность — единственность. Разделение этих двух шагов помогает не делать лишнего вывода только по смене знака.

Типичные ошибки

Первая ошибка — переносить свойства на любой промежуток. Например, непрерывная функция f(x) = 1/x на (0; 1) не ограничена, а функция f(x) = x на (0; 1) не достигает своих границ. Обычно забывают, что теоремы требуют замкнутого и ограниченного отрезка. Перед применением проверьте, что оба конца входят в область рассмотрения.

Вторая ошибка — считать, что ограниченная функция обязательно достигает максимума и минимума. Ограниченность говорит только о наличии верхней и нижней границ, но функция может лишь приближаться к ним. Это различие особенно заметно на открытых промежутках. Проверьте, есть ли в условии непрерывность именно на замкнутом отрезке, а не только ограниченность.

Третья ошибка — применять теорему о промежуточном значении, не проверив отсутствие разрывов. Если внутри отрезка график перескакивает через уровень C, нужное значение может не встретиться. Полагают, что достаточно посмотреть на концы, хотя теорема требует непрерывности на всём отрезке. Самопроверка: исследуйте функцию на разрывы внутри промежутка.

Четвёртая ошибка — считать смену знака доказательством единственности корня. Она гарантирует хотя бы один корень, но график может пересечь ось несколько раз. Ошибку допускают, смешивая вопрос о существовании с вопросом о количестве решений. Для единственности отдельно докажите строгую монотонность или используйте другое подходящее условие.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны определения функции, отрезка, предела и непрерывности, а также понимание ограниченности и экстремума. Ранее изученные производные помогают исследовать монотонность и находить точки, в которых могут располагаться экстремумы. Это позволяет не только знать, что максимум и минимум существуют, но и вычислять их.

Дальше свойства непрерывности пригодятся при доказательстве существования корней уравнений и выборе промежутков, в которых эти корни находятся. Они связаны с теоремами о производной и используются в прикладных задачах, где нужно обосновать наличие решения. Например, сначала устанавливают непрерывность и смену знака, а затем уточняют число корней с помощью производной.

Что запомнить

• Непрерывная на отрезке функция ограничена.
• Непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
• Между двумя значениями непрерывной функции она принимает все промежуточные значения.
• Для доказательства существования корня часто достаточно установить непрерывность и смену знака.
• Свойства непрерывности на отрезке нельзя без дополнительных условий переносить на открытые или неограниченные промежутки.
• Существование корня и его единственность — разные утверждения.