"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Обратная функция восстанавливает исходный аргумент по значению функции: если f(x) = y, то f⁻¹(y) = x. Она существует на множестве значений f, когда каждому значению соответствует ровно один аргумент. Строгая монотонность на промежутке гарантирует это условие, а непрерывность исходной функции вместе со строгой монотонностью обеспечивает непрерывность обратной. Область определения и множество значений при переходе к обратной функции меняются местами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция к f — функция, которая каждому значению y исходной функции ставит в соответствие единственный аргумент x, для которого f(x) = y. Её обозначают f⁻¹: если f(x) = y, то f⁻¹(y) = x. Такое обозначение помогает записать восстановление аргумента по результату функции, но не означает дробь 1/f(x).
Взаимно-однозначное соответствие означает, что каждому x из области определения соответствует ровно одно значение y, и каждому y из множества значений соответствует ровно один x. Для обратной функции существенно именно второе условие: по значению нужно однозначно восстановить аргумент. Оно позволяет не получить для одного входа обратной функции сразу несколько ответов.
Функция строго возрастает на промежутке, если из x₁ < x₂ следует f(x₁) < f(x₂). Она строго убывает, если из x₁ < x₂ следует f(x₁) > f(x₂). В обоих случаях разные аргументы дают разные значения, поэтому каждое значение функция принимает не более одного раза.
Непрерывность обратной функции рассматривают на множестве значений исходной функции: именно оно служит областью определения f⁻¹. Говоря, что обратная функция непрерывна, имеют в виду отсутствие скачков при изменении её аргумента в этом множестве. Это свойство гарантируется, если исходная функция непрерывна и строго монотонна на промежутке.
Чтобы задать обратную зависимость как функцию, каждому её аргументу y нужно поставить в соответствие ровно одно значение x. Если одному y отвечают два разных аргумента исходной функции, то обратная зависимость должна была бы выдать для одного входа два ответа. На графике это обнаруживается так: горизонтальная прямая y = c пересекает график f более одного раза. Следовательно, для существования обратной функции каждый уровень должен встречаться не более чем в одной точке.
Строгая монотонность исключает повторение значений, потому что при движении аргумента в одну сторону значение функции всё время меняется в одном направлении. Поэтому из f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂: иначе строгая монотонность потребовала бы, чтобы одно из значений было больше другого. Это доказывает взаимную однозначность и существование обратной функции на рассматриваемом промежутке. Обычной монотонности может быть недостаточно: функция способна сохранять значение на целом отрезке.
При переходе к обратной функции исходное равенство f(x) = y переписывают как f⁻¹(y) = x. Значит, бывшее значение становится аргументом, а бывший аргумент — значением. Поэтому область определения f⁻¹ совпадает с множеством значений f, а множество значений f⁻¹ — с областью определения f. При поиске обратной функции эти множества важно не перепутать.
Точка (x; y) на графике f соответствует точке (y; x) на графике f⁻¹. Перестановка координат отражает точку относительно прямой y = x, поэтому графики симметричны относительно этой прямой. Это геометрическое свойство можно использовать как проверку: соответствующие точки должны быть зеркальными. Например, если (2; 5) принадлежит графику f, то (5; 2) принадлежит графику f⁻¹.
Если f непрерывна и строго монотонна на промежутке, то она принимает все промежуточные значения между значениями на его концах. Иначе говоря, множество значений не содержит пропусков, поэтому на нём можно определить обратную функцию. При небольшом изменении y соответствующий x также меняется непрерывно: строгая монотонность задаёт единственный порядок соответствия, а непрерывность не позволяет этому соответствию перескакивать через значения. Если f возрастает, порядок сохраняется и обратная функция возрастает; если f убывает, порядок меняется на противоположный и обратная функция убывает.
| Что рассматриваем | Исходная функция f | Обратная функция f⁻¹ |
|---|---|---|
| Область определения | Заданный промежуток или множество аргументов | Множество значений f |
| Множество значений | Значения, которые принимает f | Область определения f |
| Условие взаимной однозначности | Каждое значение соответствует одному аргументу; достаточно строгой монотонности на промежутке | Для каждого аргумента есть ровно одно значение |
| Монотонность при возрастающей f | Строго возрастает | Строго возрастает |
| Монотонность при убывающей f | Строго убывает | Строго убывает |
| Непрерывность при непрерывной строго монотонной f | Непрерывна на промежутке | Непрерывна на множестве значений f |
Пользуйтесь таблицей в таком порядке: сначала определите область, на которой задана f, и проверьте её взаимную однозначность. Затем поменяйте местами область определения и множество значений, чтобы получить соответствующие множества для f⁻¹. Наконец, по монотонности и непрерывности исходной функции определите свойства обратной.
Нужно проверить, можно ли однозначно восстановить x по значению f(x). Линейная функция имеет ненулевой коэффициент при x и строго возрастает на всей числовой прямой. Значит, одно и то же значение она не принимает дважды, и обратная функция существует на её множестве значений.
Ответ: обратная функция существует, f⁻¹(x) = (x − 1)/2, её область определения — R.
Ограничение x ≥ 0 здесь принципиально: на этой области квадрат строго возрастает, а каждому значению квадрата соответствует единственный неотрицательный корень. Значит, обратная функция существует. Её область определения нужно взять не из условия для x, а из множества значений исходной функции.
Ответ: f⁻¹(x) = √x, область определения обратной функции — [0; +∞).
Строгая убываемость исключает два разных аргумента с одинаковым значением, поэтому обратная функция существует. Непрерывность означает, что между значениями на концах функция принимает все промежуточные значения. Поскольку функция убывает, значение в точке a — наибольшее, а в точке b — наименьшее.
Ответ: обратная функция существует; её область определения — [−1; 5], множество значений — [a; b], она строго убывает и непрерывна.
Считать, что обратная функция существует у любой функции, — значит не проверить, можно ли по значению однозначно восстановить аргумент. Это часто происходит, когда о функции судят только по формуле, не учитывая её область определения. Проверьте, не дают ли разные x одинаковое f(x), или мысленно проведите горизонтальные прямые через график. Если хотя бы одна пересекает его несколько раз, обратной функции на этой области нет.
Искать обратную к x² на всей R без ограничения области определения нельзя: значения при x и −x совпадают. Заблуждение возникает из-за того, что корень √y кажется готовой формулой, но он возвращает только неотрицательный корень. Перед преобразованиями проверьте взаимную однозначность; если нужно, ограничьте область, например до [0; +∞), и учтите ограничение в ответе.
Запись f⁻¹(x) иногда принимают за 1/f(x), поскольку верхний индекс −1 похож на степень −1. Но обратная функция восстанавливает аргумент, а 1/f(x) даёт обратное число к значению функции. Проверка простая: для обратной функции должны выполняться соотношения f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x на подходящих областях. Не подменяйте ими вычисление дроби.
Ещё одна ошибка — объявлять область определения f⁻¹ областью определения f. Их путают, если ориентируются на исходную формулу и забывают о перестановке аргумента и значения. Проверьте себя по равенству f(x) = y: в обратной функции входом становится y, значит, её область определения — множество значений f. А множество значений f⁻¹, наоборот, совпадает с областью определения f.
Для работы с обратными функциями нужно уверенно находить область определения и множество значений, а также определять возрастание и убывание на промежутке. Связь графиков f и f⁻¹ помогает проверять найденную формулу: они симметричны относительно прямой y = x. Обратные функции используются при изучении показательной и логарифмической функций, поскольку эти функции взаимно обратны при согласованных областях. Тот же подход помогает преобразовывать выражения и решать уравнения, когда требуется восстановить аргумент по значению.
Всегда ли у функции есть обратная функция?
Нет. На выбранной области определения каждому значению функции должен соответствовать ровно один аргумент. Если разные аргументы дают одинаковое значение, обратная зависимость не будет функцией.
Почему функция x² не имеет обратной на всей числовой прямой?
Потому что, например, x² = 4 при x = 2 и x = −2. Значению 4 соответствовали бы два аргумента, поэтому обратная зависимость не является функцией. Если ограничить область определения до [0; +∞), обратная функция существует.
Чем f⁻¹(x) отличается от 1/f(x)?
f⁻¹ — обозначение функции, обратной к f: она возвращает аргумент по значению функции. Выражение 1/f(x) означает число, обратное значению f(x), и определено, когда f(x) ≠ 0. Это разные операции.
Как определить область определения обратной функции?
Область определения f⁻¹ совпадает с множеством значений исходной функции f. Сначала нужно выяснить, какие значения принимает f, а затем записать это множество как область определения обратной.
Почему графики взаимно обратных функций симметричны относительно y = x?
Если точка (x; y) лежит на графике f, то f(x) = y, а значит, f⁻¹(y) = x. Поэтому на графике обратной функции лежит точка (y; x), полученная перестановкой координат. Такая перестановка отражает точку относительно прямой y = x.
§ 51. Существование и непрерывность обратной функции
