"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Производная показывает, как быстро меняется функция в каждой точке, и задаёт наклон касательной к её графику. Для степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций существуют готовые формулы: они позволяют находить скорость изменения без повторного вычисления предела. Чтобы применять их верно, нужно помнить ограничения области определения, различать основания степеней и логарифмов и измерять углы в радианах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная элементарной функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует; её обозначают f'(x). Она характеризует мгновенную скорость изменения функции, например скорость движения в конкретный момент. Геометрически производная задаёт наклон касательной к графику, поэтому с её помощью изучают изменение функции.
Степенная функция имеет вид y = xⁿ, где n — показатель степени. Формула (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ применяется с учётом области определения: при натуральном n она верна для всех действительных x, а для других показателей могут потребоваться ограничения. Это правило позволяет быстро находить производные выражений с целыми степенями x.
Показательная функция записывается как y = aˣ, где основание a > 0 и a ≠ 1. Условие на основание необходимо, чтобы функция была определена для всех действительных x и не сводилась к постоянной. Производная показывает, что скорость её роста зависит от ln a.
Логарифмическая функция имеет вид y = logₐ x и является обратной к показательной функции y = aˣ; здесь a > 0, a ≠ 1, x > 0. Её производная выражается через натуральный логарифм основания: (logₐ x)' = 1/(x ln a). Для натурального логарифма ln x основание равно e, поэтому формула упрощается до 1/x.
Для степенной функции подставим x + h в определение производной: ((x + h)ⁿ − xⁿ)/h. По биному Ньютона (x + h)ⁿ = xⁿ + n·xⁿ⁻¹h и слагаемые, содержащие h² и более высокие степени. После вычитания xⁿ и деления на h остаётся n·xⁿ⁻¹ плюс слагаемые, стремящиеся к нулю при h → 0. Поэтому предел равен n·xⁿ⁻¹; при отрицательных целых показателях исходная функция и формула рассматриваются там, где выражение определено.
Для показательной функции отношение приращения записывается как aˣ(aʰ − 1)/h. При h → 0 второй множитель стремится к ln a, поэтому (aˣ)' = aˣ ln a. Этот множитель отражает, насколько быстро меняется функция при выбранном основании: он положителен при a > 1 и отрицателен при 0 < a < 1. У числа e значение ln e = 1, поэтому (eˣ)' = eˣ.
Логарифм y = logₐ x обратен показательной функции x = aʸ. Для обратных функций наклоны графиков в соответствующих точках взаимно обратны: производная логарифма равна 1/(aʸ ln a). Так как aʸ = x, получаем (logₐ x)' = 1/(x ln a). При a = e это даёт (ln x)' = 1/x, причём x должен быть положительным, поскольку логарифм определён только при x > 0.
В определении производной синуса возникает предел sin h/h, который при h → 0 равен 1; поэтому (sin x)' = cos x. Для косинуса используется предел (cos h − 1)/h, равный 0, а оставшееся слагаемое приводит к формуле (cos x)' = −sin x. Эти пределы справедливы при измерении углов в радианах: при градусной мере в формулах появились бы дополнительные множители. Производные тангенса и котангенса выводятся из производной частного: tg x = sin x/cos x, ctg x = cos x/sin x; отсюда получаем 1/cos² x и −1/sin² x соответственно. Каждая формула действует только там, где знаменатель не равен нулю.
Графики y = sin x и y = cos x показывают, что производная синуса в каждой точке задаёт наклон его графика.
Сначала найдите в таблице нужный тип функции, затем проверьте ограничения в третьем столбце. Последний столбец помогает заметить частые ловушки: потерянный множитель или знак. Если выражение состоит из суммы, применяйте подходящую формулу к каждому слагаемому отдельно.
| Функция | Производная | Ограничения и область определения | Что важно не перепутать |
|---|---|---|---|
| y = C | y' = 0 | C — постоянная | Производная константы равна нулю |
| y = xⁿ | y' = n·xⁿ⁻¹ | Условия зависят от показателя n и области определения | Показатель уменьшается на единицу, а не меняет знак |
| y = eˣ | y' = eˣ | Все действительные x | Это единственная показательная функция, совпадающая со своей производной |
| y = aˣ | y' = aˣ·ln a | a > 0, a ≠ 1 | Нельзя заменять ln a на a |
| y = ln x | y' = 1/x | x > 0 | Формула не применяется при x ≤ 0 |
| y = logₐ x | y' = 1/(x·ln a) | a > 0, a ≠ 1, x > 0 | При a = e получается формула для ln x |
| y = sin x | y' = cos x | Все действительные x | Аргумент должен быть выражен в радианах |
| y = cos x | y' = −sin x | Все действительные x | Знак «минус» обязателен |
| y = tg x | y' = 1/cos² x | cos x ≠ 0 | Производная положительна на каждом промежутке области определения |
| y = ctg x | y' = −1/sin² x | sin x ≠ 0 | В знаменателе стоит sin² x, а перед дробью — минус |
Найдём производную f(x) = 4x⁵ − 3x² + 7 sin x − 2. Здесь есть степенные слагаемые, синус и постоянная, поэтому удобно дифференцировать выражение почленно. Так мы не смешиваем правила и сразу видим вклад каждого слагаемого.
Для первого слагаемого применяем правило степени: (4x⁵)' = 4·5x⁴ = 20x⁴.
Для второго учитываем коэффициент и правило степени: (−3x²)' = −3·2x = −6x.
Производная синуса равна косинусу, поэтому (7 sin x)' = 7 cos x. Постоянное число −2 имеет производную 0.
Складываем полученные производные: f'(x) = 20x⁴ − 6x + 7 cos x.
Ответ: f'(x) = 20x⁴ − 6x + 7 cos x.
Найдём производную f(x) = 3ˣ + ln x − log₂ x и укажем область определения. Показательная часть определена при любом действительном x, а оба логарифма требуют x > 0. Значит, вся функция определена только при x > 0; это ограничение сохраняется и для её производной.
Дифференцируем 3ˣ по формуле для основания a: (3ˣ)' = 3ˣ ln 3.
Для натурального логарифма получаем (ln x)' = 1/x. Для логарифма по основанию 2: (log₂ x)' = 1/(x ln 2).
Учитываем знак минус перед log₂ x и складываем результаты: f'(x) = 3ˣ ln 3 + 1/x − 1/(x ln 2).
Ответ: f'(x) = 3ˣ ln 3 + 1/x − 1/(x ln 2), область определения функции и производной: x > 0.
Для y = x² + a ln x нужно подобрать a так, чтобы касательная при x = 1 имела угловой коэффициент 5. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Поэтому сначала дифференцируем при произвольном a, а затем подставляем x = 1 и решаем уравнение.
Дифференцируем слагаемые: y' = 2x + a/x. Здесь a постоянно, поэтому остаётся множителем перед производной ln x.
Подставляем x = 1: y'(1) = 2 + a. По условию это значение должно равняться 5.
Решаем уравнение 2 + a = 5 и получаем a = 3. Точка x = 1 допустима, так как логарифм определён при положительном x.
Ответ: a = 3.
Ошибка: записывают (aˣ)' = aˣ, забывая множитель ln a. Так происходит, когда свойство функции eˣ переносят на любое основание. Проверка: подставьте a = 2 — множитель ln 2 не равен 1, значит, его нельзя отбросить.
Ошибка: теряют минус в формулах для косинуса или котангенса. Знак может потеряться при механическом запоминании, хотя он следует из вывода через приращение или правило производной частного. Для проверки запишите формулы рядом: (cos x)' = −sin x, (ctg x)' = −1/sin² x.
Ошибка: используют (ln x)' = 1/x при x ≤ 0. Причина — внимание только к формуле, а не к исходной функции. Проверьте область определения до вычислений: ln x существует в действительных числах лишь при x > 0.
Ошибка: применяют формулы производных sin x и cos x, когда угол дан в градусах. Стандартные формулы выводятся через пределы для радианной меры, а градусная мера меняет коэффициент при производной. Перед вычислением проверьте единицы аргумента и при необходимости переведите градусы в радианы.
Для работы с формулами нужны определение производной, правила дифференцирования суммы и постоянного множителя, а также свойства степеней, логарифмов и тригонометрических функций. Эти знания позволяют не только находить производную отдельной функции, но и разбирать выражения из нескольких слагаемых.
Найденные производные используют при исследовании функций: определяют промежутки возрастания и убывания, находят экстремумы, составляют уравнение касательной и оценивают скорость изменения. Далее эти формулы станут основой для дифференцирования сложных функций и решения прикладных задач.
Почему производная e^x равна самой функции?
Число e выбрано так, что скорость изменения функции e^x в каждой точке равна её значению. Поэтому при дифференцировании множитель ln e равен 1, и получается (e^x)' = e^x.
Чем формула производной a^x отличается от формулы производной e^x?
Для любого основания a > 0, a ≠ 1 формула имеет вид (a^x)' = a^x ln a. У функции e^x множитель ln e равен 1, поэтому её производная совпадает с ней самой.
Почему в формуле производной ln x нельзя брать x = 0 или отрицательные значения?
Натуральный логарифм ln x в действительных числах определён только при x > 0. Значит, при нуле и отрицательных x исходная функция не имеет значения, а её производную там найти нельзя.
Почему производная cos x содержит знак «минус»?
При малом изменении аргумента изменение косинуса связано с синусом с противоположным знаком. Это также видно по графику: в точке x = 0 косинус убывает при движении вправо, поэтому его наклон равен −sin 0 = 0, а в соседних точках знак производной соответствует убыванию.
Можно ли применять формулы производных тригонометрических функций, если аргумент измерен в градусах?
Формулы (sin x)' = cos x и (cos x)' = −sin x напрямую справедливы, когда x измеряется в радианах. Для аргумента в градусах нужно сначала учесть перевод в радианы, иначе появится дополнительный множитель.
§ 54. Производные некоторых элементарных функций
