§ 53. Определение производной

Определения и обозначения

Приращение аргумента Δx — изменение аргумента от x₀ до x₀ + Δx. Оно может быть положительным или отрицательным, но в разностном отношении не равно нулю. Этот символ показывает, насколько изменили входное значение функции.

Приращение функции Δy — изменение значения функции при таком изменении аргумента: Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Оно может иметь любой знак и показывает, насколько изменился результат. Через него удобно сравнивать изменение функции с изменением аргумента.

Производная функции в точке x₀ — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0: f′(x₀) = lim₍Δx→0₎ Δy/Δx. Производная существует, если этот предел существует и конечен. Она описывает изменение функции именно в выбранной точке.

Функция дифференцируема в точке, если в этой точке существует конечная производная. Производная зависит от точки, поэтому в разных точках её значения могут различаться. Кроме того, производная может существовать не на всей области определения функции.

Как это устроено

Отношение Δy/Δx связывает два изменения и называется разностным отношением. При фиксированном ненулевом Δx оно показывает, насколько в среднем меняется функция при переходе от x₀ к x₀ + Δx. Например, для движения это средняя скорость на выбранном промежутке времени, а не скорость в каждый отдельный момент.

Чтобы получить мгновенное изменение, промежуток делают всё меньше: Δx стремится к нулю. Вместе с ним меняется и Δy, а отношение приращений может приближаться к определённому числу. Именно этот предел называют производной, потому что он сохраняет информацию о наклоне функции в одной точке, устраняя влияние протяжённости промежутка.

Определение можно записать и через переменную x: f′(x₀) = lim₍x→x₀₎ (f(x) − f(x₀))/(x − x₀). Здесь x приближается к x₀, а знаменатель не равен нулю, пока x ≠ x₀. Обе записи равносильны: достаточно положить x = x₀ + Δx, тогда x − x₀ = Δx.

Геометрически разностное отношение является угловым коэффициентом секущей — прямой, проходящей через две точки графика. Когда вторая точка приближается к первой, секущая приближается к касательной. Поэтому предел её углового коэффициента, то есть производная, равен угловому коэффициенту касательной в точке.

Производная также выражает мгновенную скорость изменения величины: например, мгновенную скорость тела, если функция задаёт его координату. Если конечного предела нет или односторонние пределы различаются, производной в точке нет. Так происходит, например, в точке излома графика.

Приращения и производная в точке

В таблице собраны основные объекты и их назначение. Сначала определите, какое изменение задано, затем составьте разностное отношение и только после этого переходите к пределу.

Не следует смешивать вторую и третью строки: сначала находят приращение функции, затем делят его на приращение аргумента. Производная получается только после вычисления предела разностного отношения.

Разбор задач

1. Производная функции f(x) = x² в точке x₀ = 3

Нужно применить определение, поэтому сначала найдём, как изменяется функция при замене 3 на 3 + Δx. Затем сократим разностное отношение и вычислим предел. Такой порядок позволяет увидеть происхождение результата, а не использовать готовое правило.

1. Вычислим приращение: Δy = (3 + Δx)² − 3² = 6Δx + (Δx)².
2. Составим отношение: Δy/Δx = [6Δx + (Δx)²]/Δx = 6 + Δx, поскольку Δx ≠ 0.
3. Переходим к пределу: f′(3) = lim₍Δx→0₎ (6 + Δx) = 6.

Ответ: f′(3) = 6.

2. Производная функции f(x) = 1/x в точке x₀ = 2

Здесь приращение функции содержит разность дробей. Её нужно преобразовать до сокращения на Δx, после чего предел станет очевидным. Все значения рассматриваются в области x ≠ 0.

1. Получим приращение: Δy = 1/(2 + Δx) − 1/2 = −Δx/[2(2 + Δx)].
2. Разделим на Δx: Δy/Δx = −1/[2(2 + Δx)]. Сокращение допустимо, потому что Δx ≠ 0.
3. Найдём предел: f′(2) = lim₍Δx→0₎ −1/[2(2 + Δx)] = −1/8.

Ответ: f′(2) = −1/8.

3. Производная функции f(x) = |x| в точке x₀ = 0

Модуль раскрывается по-разному для положительных и отрицательных чисел. Поэтому необходимо проверить разностное отношение с двух сторон. Если получатся разные пределы, общей производной не существует.

1. При Δx > 0: Δy/Δx = |Δx|/Δx = 1.
2. При Δx < 0: Δy/Δx = |Δx|/Δx = −Δx/Δx = −1.
3. Односторонние пределы различны: 1 ≠ −1. Следовательно, общего конечного предела нет.

Ответ: функция y = |x| не имеет производной в точке x₀ = 0.

Типичные ошибки

Ошибка: положить Δx = 0 сразу при составлении разностного отношения. Тогда появляется деление на ноль, и выражение теряет смысл. Записывайте сначала условие Δx ≠ 0, сокращайте множитель, а нулю приравнивайте Δx только внутри предела.

Ошибка: принять любое значение Δy/Δx за производную. При конечном Δx это средняя скорость изменения на промежутке. Проверка проста: если предел ещё не вычислен, производная по определению пока не найдена.

Ошибка: путать f′(x₀) и f′(x). Первое обозначает число — значение производной в конкретной точке, второе является функцией, задающей производную для разных x. Подставьте точку в f′(x), чтобы получить f′(x₀).

Ошибка: считать непрерывность гарантией существования производной. Непрерывный график может иметь излом, как график y = |x| в нуле. Проверяйте односторонние пределы разностного отношения, а не только отсутствие разрыва.

Связь с другими темами

Для определения производной нужны понятие предела функции и навыки вычисления пределов дробных выражений. Без них нельзя корректно перейти от разностного отношения к его предельному значению.

Также используются приращение функции и угловой коэффициент прямой. Представления о секущей и касательной помогают понять, почему предел отношений связан с наклоном графика.

Определение станет основой для правил дифференцирования. В дальнейшем производная понадобится при исследовании функций, построении графиков и решении задач на скорость изменения.

Что запомнить

• Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀).
• Производная в точке — предел отношения Δy/Δx при Δx → 0.
• Производная существует, только если этот предел конечен.
• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
• Производная характеризует мгновенную скорость изменения функции.
• Непрерывность функции в точке не гарантирует существования производной.