§ 4. Определение производной

Определения и обозначения

Приращение аргумента Δx — изменение аргумента при переходе от x₀ к x₀ + Δx. Оно может быть положительным или отрицательным: знак показывает направление перехода по оси x. В разностном отношении Δx не равно нулю, потому что на ноль делить нельзя.

Приращение функции Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) — изменение значения функции при изменении аргумента. Сначала находят новое значение функции, затем вычитают исходное. Эта величина показывает, насколько поднялся или опустился график.

Разностное отношение Δy/Δx — отношение приращения функции к приращению аргумента. Оно показывает среднюю скорость изменения функции на выбранном промежутке и равно угловому коэффициенту секущей. Секущая — прямая, проходящая через две точки графика.

Производная функции в точке x₀ — предел разностного отношения при Δx → 0, если этот предел существует: f′(x₀) = lim при Δx → 0 [f(x₀ + Δx) − f(x₀)]/Δx. Её также обозначают y′(x₀). Производная описывает изменение функции уже непосредственно в одной точке.

Как это устроено

Начинают с точки x₀, где нужно исследовать функцию, и задают небольшое изменение аргумента Δx. Тогда новая точка имеет координату x₀ + Δx, потому что к исходному значению прибавили его изменение. Значения функции в двух точках, f(x₀) и f(x₀ + Δx), позволяют определить, насколько изменился результат. Их разность и есть Δy.

Разностное отношение сравнивает два изменения: насколько изменилась функция и какой ценой по аргументу это произошло. Поэтому оно даёт среднюю скорость изменения на всём промежутке от x₀ до x₀ + Δx, а не в одной его точке. На графике отношение вертикального приращения к горизонтальному равно угловому коэффициенту секущей. Если отношение положительно, секущая поднимается слева направо, а если отрицательно — опускается.

Чтобы получить характеристику изменения именно в x₀, вторую точку приближают к первой: Δx стремится к нулю. Секущая через две точки графика при таком приближении занимает предельное положение и становится касательной, если такое положение существует. Её угловой коэффициент равен пределу разностного отношения. Поэтому производная связывает алгебраический предел с геометрическим наклоном графика.

Определение можно записывать через Δx или через букву h: f′(x₀) = lim при Δx → 0 [f(x₀ + Δx) − f(x₀)]/Δx и f′(x₀) = lim при h → 0 [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. Буквы имеют одинаковый смысл: это приращение аргумента. Запись «стремится к нулю» означает приближение к нулю, а не подстановку нулевого значения. В задачах о движении производная координаты по времени даёт мгновенную скорость, то есть скорость в данный момент.

Величины и этапы определения производной в точке

Таблица показывает последовательность перехода от двух близких значений аргумента к производной. Пользуйтесь ею как алгоритмом: сначала задайте Δx, затем найдите Δy, составьте отношение и только после преобразований вычисляйте предел.

Разбор задач

Линейная функция

Найдём производную функции f(x) = 3x − 2 в точке x₀ = 1 по определению. Здесь удобно ожидать постоянный результат, поскольку при любом изменении x линейная функция изменяется пропорционально Δx. Проверим это вычислением.

1. Находим приращение функции: f(1 + Δx) − f(1) = [3(1 + Δx) − 2] − (3 − 2) = 3Δx.
2. Составляем разностное отношение: Δy/Δx = 3Δx/Δx = 3 при Δx ≠ 0.
3. Переходим к пределу: f′(1) = lim при Δx → 0 3 = 3.

Ответ: f′(1) = 3.

Квадратичная функция

Найдём производную f(x) = x² в произвольной точке x₀. Точка не задана числом, поэтому результат должен зависеть от x₀. Ключевой шаг — раскрыть квадрат суммы и сократить общий множитель Δx.

1. Получаем Δy = (x₀ + Δx)² − x₀² = x₀² + 2x₀Δx + Δx² − x₀² = 2x₀Δx + Δx².
2. Делим на Δx: Δy/Δx = (2x₀Δx + Δx²)/Δx = 2x₀ + Δx при Δx ≠ 0.
3. Находим предел: f′(x₀) = lim при Δx → 0 (2x₀ + Δx) = 2x₀.

Ответ: f′(x₀) = 2x₀.

Обратная пропорциональность

Найдём производную функции f(x) = 1/x в точке x₀ = 2. Сначала нужно учесть, что x₀ и x₀ + Δx не должны быть равны нулю. После приведения дробей общий множитель Δx сократится, и предел станет простым.

1. Составляем приращение: Δy = 1/(2 + Δx) − 1/2 = [2 − (2 + Δx)]/[2(2 + Δx)] = −Δx/[2(2 + Δx)].
2. Разностное отношение равно Δy/Δx = −1/[2(2 + Δx)] при Δx ≠ 0.
3. Переходим к пределу: f′(2) = lim при Δx → 0 −1/[2(2 + Δx)] = −1/4.

Ответ: f′(2) = −¼.

Типичные ошибки

Подставляют Δx = 0 в разностное отношение сразу. Так появляется деление на ноль, потому что предел ещё не найден. Сначала упростите выражение при Δx ≠ 0, а затем выполните предельный переход; полезная проверка — в итоговой дроби не должно остаться проблемного сокращения.

Записывают приращение функции как f(x₀ + Δx), забывая вычесть f(x₀). Ошибка возникает из-за смешения нового значения функции с её изменением. Проверьте себя вопросом: сравниваются ли два значения, и равно ли Δy нулю при отсутствии изменения аргумента?

Путают предел при Δx → 0 с подстановкой Δx = 0. При пределе рассматриваются ненулевые приращения, которые становятся сколь угодно малыми. Если выражение нельзя подставить напрямую, его сначала преобразуют.

Считают производную значением функции в точке. На самом деле f(x₀) показывает положение точки графика, а f′(x₀) — скорость изменения и наклон касательной. Сверьте единицы величин или геометрический смысл: это разные характеристики.

Связь с другими темами

До определения производной нужно уметь находить приращение функции, раскрывать скобки, сокращать дроби и вычислять простые пределы. Эти навыки позволяют перейти от формулы функции к удобному разностному отношению.

Далее производная станет основой правил дифференцирования и уравнения касательной. Она также используется для нахождения скорости движения и исследования функций: по знаку производной определяют промежутки возрастания, убывания и возможные экстремумы.

Что запомнить

• Δx — приращение аргумента, Δy — соответствующее приращение функции.
• Разностное отношение имеет вид [f(x₀ + Δx) − f(x₀)]/Δx.
• Производная в точке — предел разностного отношения при Δx → 0.
• В определении Δx не равен нулю, хотя стремится к нулю.
• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, если касательная существует.
• Производную обозначают f′(x₀) или y′(x₀).