§ 3. Непрерывность функции

Определения и обозначения

Функция непрерывна в точке x₀, если она определена в этой точке и lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Иными словами, при приближении аргумента к x₀ значения функции приближаются к её значению в самой точке. Это определение позволяет точно проверить, нет ли нарушения поведения функции около x₀.

Функция непрерывна слева в x₀, если lim(x→x₀−) f(x) = f(x₀), и непрерывна справа, если lim(x→x₀+) f(x) = f(x₀). Знаки − и + указывают, с какой стороны к x₀ приближается аргумент. Односторонние условия нужны, например, при исследовании концов промежутка и точек склейки формул.

Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой его внутренней точке; на концах отрезка достаточно непрерывности со стороны отрезка. Значит, внутри отрезка рассматривают двусторонний предел, а у края — только подходящее одностороннее приближение. Такое определение учитывает, что за границей промежутка значения функции могут не задаваться.

Точка разрыва функции — это точка, в которой функция не является непрерывной. Причиной может быть отсутствие значения функции, отсутствие общего предела или несовпадение предела со значением. Понятие помогает отметить места, где поведение графика нарушает условие непрерывности.

Как это устроено

Условия непрерывности следуют из определения предела и равенства в нём. Сначала значение f(x₀) должно существовать, поэтому x₀ входит в область определения. Затем должен существовать предел при x → x₀: если значения слева и справа ведут себя по-разному, приблизить их одним числом нельзя. Наконец, найденный предел сравнивают с f(x₀), поскольку непрерывность требует совпадения поведения рядом с точкой и значения в ней.

На графике непрерывность часто представляют как возможность провести линию через точку, не отрывая карандаш: не должно быть скачка или прокола. Скачок наглядно соответствует разным предельным значениям с двух сторон, а прокол может означать, что предел есть, но значение функции в точке отсутствует или другое. Однако рисунок лишь помогает представить ситуацию: точную проверку проводят по пределам и значению функции, а не по впечатлению от графика.

Чтобы проверить существование двустороннего предела, находят пределы слева и справа. Если они не совпадают, общего предела нет, а значит, непрерывности быть не может. Если односторонние пределы равны, их общее значение является пределом функции; после этого его обязательно сравнивают с f(x₀). Так можно отличить существование предела от непрерывности.

У кусочной функции разные формулы действуют на разных частях области определения. Внутри каждой части обычно достаточно исследовать формулу, которая там используется, а возможное несоответствие возникает у точки, где формулы меняются. Поэтому в такой точке отдельно считают левый предел по формуле слева, правый предел по формуле справа и значение, заданное самой функцией. Для непрерывности все три результата должны совпасть.

На промежутке условие непрерывности нужно выполнить в каждой его точке, но способ проверки на границе отличается от внутреннего. Внутри к точке можно приближаться с двух сторон, поэтому нужен двусторонний предел. На левом конце отрезка подходят только справа, а на правом — только слева; именно предел с этой стороны сравнивают со значением функции. Так определение не требует изучать функцию вне отрезка.

Условия непрерывности функции

Таблица сводит проверку к отдельным вопросам: определена ли функция, существует ли предел и совпадают ли нужные значения. При разборе задачи двигайтесь сверху вниз, останавливаясь, если одно из необходимых условий нарушено. В строках об односторонней непрерывности и промежутке учитывайте, с какой стороны допустимо приближение.

Разбор задач

Проверить, непрерывна ли функция f(x) = x² в точке x₀ = 2.

1. Найдём значение функции: f(2) = 2² = 4. Значит, функция определена в рассматриваемой точке.
2. Вычислим предел. Поскольку квадрат многочлена непрерывен, lim(x→2) x² = 2² = 4. Можно увидеть это и напрямую: при приближении x к 2 его квадрат приближается к 4.
3. Сравним результат с f(2): предел равен 4, и значение функции также равно 4. Все условия непрерывности выполнены.

Ответ: f(x) = x² непрерывна в точке x₀ = 2.

Исследовать непрерывность функции f(x) = |x| в точке x₀ = 0.

1. Сначала найдём значение в точке: f(0) = |0| = 0. Для предела используем определение модуля: слева от нуля |x| = −x, справа |x| = x.
2. При x → 0− получаем lim(−x) = 0, а при x → 0+ получаем lim x = 0. Односторонние пределы совпали, поэтому общий предел существует и равен 0.
3. Сравним общий предел со значением: lim(x→0) |x| = 0 = f(0). Следовательно, функция непрерывна в нуле.

Ответ: f(x) = |x| непрерывна в точке x₀ = 0.

Найти значение параметра a для непрерывности в точке x₀ = 1.

Дана функция f(x) = x + 1 при x < 1 и f(x) = a при x ≥ 1. В точке склейки значение задаёт вторая формула, поэтому f(1) = a. Чтобы обеспечить непрерывность, сопоставим это значение с пределами, вычисленными по формулам с соответствующих сторон.

1. Слева действует формула x + 1, поэтому lim(x→1−) f(x) = 1 + 1 = 2. Справа действует постоянная формула a, и lim(x→1+) f(x) = a.
2. Значение функции в точке тоже равно a, поскольку условие x ≥ 1 включает x = 1. Для непрерывности левый предел, правый предел и значение должны совпасть: 2 = a = a.
3. Из равенства получаем a = 2. При этом правый предел и значение функции также равны 2, значит все условия выполнены.

Ответ: a = 2.

Типичные ошибки

Считать функцию непрерывной только потому, что f(x₀) существует, — недостаточно. Так бывает, когда проверяют лишь подстановку и забывают о поведении функции рядом с точкой. Проверьте себя: отдельно установите существование предела и его равенство значению функции.

Другая ошибка — принять существование предела за непрерывность. Предел может существовать, но отличаться от f(x₀), например если значение в точке задано отдельно. Чтобы не перепутать понятия, после вычисления предела обязательно выпишите значение функции и сравните два числа.

В точке склейки кусочной функции нельзя проверять только одну сторону. Формула с другой стороны может дать иной предел, даже если выбранная формула выглядит непрерывной. Найдите оба односторонних предела и значение в точке; непрерывность есть только при совпадении всех трёх.

На концах отрезка не требуется двусторонний предел: это условие ошибочно добавляет проверку за пределами отрезка. Путаница возникает, если применять внутреннее условие ко всем точкам без учёта границ. Сверьтесь со стороной приближения: на левом конце нужна правая, на правом — левая.

Связь с другими темами

Для проверки непрерывности нужны определение предела и правила вычисления односторонних пределов: именно они описывают поведение функции около точки. Также необходимо уметь находить область определения и значение функции, чтобы проверить первое условие и сравнить предел с f(x₀). Непрерывность помогает изучать свойства элементарных функций и графиков, а позднее становится важной при работе с производной. Поэтому понимание предела здесь связывает несколько тем математического анализа.

Что запомнить

• Функция непрерывна в точке, если она там определена.
• Предел функции в точке должен существовать.
• Предел функции должен равняться значению функции в точке.
• Для непрерывности на отрезке внутри него проверяют двусторонние пределы, на концах — односторонние.
• В точке склейки кусочной функции проверяют левый и правый пределы и значение функции.
• Если условия непрерывности нарушены, точка является точкой разрыва.