"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Производные произведения, частного и композиции позволяют находить скорость изменения выражений, в которых функции перемножаются, делятся или вложены одна в другую. Для произведения складывают два слагаемых, для частного используют специальную дробь, а для сложной функции умножают производную внешней части на производную внутренней. Эти правила помогают дифференцировать выражения, которые нельзя свести к одному простому правилу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная произведения — правило, по которому производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого множителя на другой множитель: (uv)' = u'v + uv'. Здесь штрих обозначает производную. Правило нужно, когда выражение состоит из множителей и его удобнее дифференцировать без раскрытия скобок.
Производная частного — правило дифференцирования отношения функций, применимое там, где знаменатель не равен нулю: (u/v)' = (u'v − uv')/v². В числителе важно соблюдать порядок слагаемых, а знаменатель возводится в квадрат. Это правило помогает работать с дробями, числитель и знаменатель которых зависят от x.
Композиция функций — функция вида f(g(x)), в которой значение внутренней функции g служит аргументом внешней функции f. Например, в sin(x²) внутренней является x², а внешней — синус. Такое представление нужно, чтобы увидеть последовательность действий, из которых составлено выражение.
Производная сложной функции — производная композиции, равная произведению производной внешней функции, вычисленной во внутренней точке, на производную внутренней: (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x). Сначала дифференцируют внешний слой, не убирая внутреннее выражение, затем умножают на производную этого выражения. Так учитывается каждый этап изменения функции.
Рассмотрим произведение u(x)v(x) и изменим x на небольшую величину Δx. Каждый множитель получит своё приращение: произведение станет (u + Δu)(v + Δv). Если раскрыть скобки, изменение произведения включает uΔv, vΔu и ΔuΔv. После деления на Δx последний вклад исчезает при переходе к пределу, потому что он содержит произведение двух малых приращений; остаются u'v и uv'.
Чтобы получить правило частного, представим u/v как произведение u и 1/v. Производная обратной функции 1/v равна −v'/v², поэтому правило произведения даёт u'/v − uv'/v². Приведение к общему знаменателю приводит к формуле (u'v − uv')/v². Условие v ≠ 0 необходимо уже для существования самого частного; в точке с нулевым знаменателем это выражение не определено.
В композиции f(g(x)) изменение аргумента x сначала меняет значение g(x). Получившееся изменение становится изменением аргумента функции f, поэтому результат зависит и от того, насколько быстро меняется g, и от чувствительности f к своему аргументу. Если внутренняя функция меняется быстро, изменение всей композиции также усиливается. Именно эту связь выражает произведение производных.
Обоснование правила цепочки можно увидеть через отношение приращений. Пусть аргумент внешней функции изменился на Δg, тогда отношение Δf/Δx можно представить как (Δf/Δg) · (Δg/Δx). При стремлении Δx к нулю эти отношения переходят соответственно в f'(g(x)) и g'(x). Их произведение и есть производная всей композиции, если функции дифференцируемы в нужных точках.
Если в выражении несколько вложенных действий, правила применяют последовательно, а не пытаются дифференцировать всё сразу. Сначала определяют последнюю операцию — например, синус, степень или произведение, — и выделяют внешнюю функцию. Затем находят её производную, сохраняя внутреннее выражение, и продолжают разбор внутрь. Так можно не пропустить множитель, возникающий на каждом вложенном уровне.
| Выражение | Условие | Производная |
|---|---|---|
| Произведение u(x)v(x) | u и v дифференцируемы | u'v + uv' |
| Частное u(x)/v(x) | u и v дифференцируемы, v(x) ≠ 0 | (u'v − uv')/v² |
| Композиция f(g(x)) | g дифференцируема, f дифференцируема в точке g(x) | f'(g(x))g'(x) |
Сначала найдите в выражении нужную конструкцию: произведение, частное или вложенную функцию. Затем сверьте условие и примените соответствующую строку таблицы. Если выражение состоит из нескольких конструкций, используйте несколько правил последовательно.
Задача 1. Найти производную функции y = (x² + 1)(3x − 2). Здесь перемножены два выражения, каждое из которых зависит от x. Поэтому применяем правило произведения, не раскрывая скобки: так проще увидеть оба множителя и не потерять слагаемые.
Ответ: y' = 9x² − 4x + 3. Оба слагаемых формулы использованы, поскольку производная учитывает изменение каждого множителя. Результат можно проверить раскрытием исходных скобок и последующим дифференцированием многочлена.
Задача 2. Найти производную y = (x² + 1)/(x − 3) и указать область, где применимо правило. Это частное двух функций, поэтому важно сразу проверить знаменатель. При x = 3 исходная функция не определена, и формулу производной там применять нельзя.
Ответ: y' = (x² − 6x − 1)/(x − 3)² при x ≠ 3. Минус перед вторым произведением сохраняет порядок формулы частного. Знаменатель производной также не обращается в ноль на указанной области.
Задача 3. Найти производную y = sin((x² + 1)³). Выражение содержит несколько вложенных функций: сначала прибавляют единицу к квадрату x, затем возводят результат в куб и берут синус. Поэтому будем двигаться от внешнего действия к внутреннему, применяя правило цепочки на каждом шаге.
Ответ: y' = 6x(x² + 1)² cos((x² + 1)³). Множитель 3(x² + 1)² появился при дифференцировании куба, а 2x — при дифференцировании внутреннего выражения. Оба множителя необходимы, иначе один из этапов изменения функции не будет учтён.
Запись (uv)' = u'v означает, что ученик продифференцировал только один множитель и забыл слагаемое uv'. Такое упрощение возникает, когда правило произведения ошибочно воспринимают как правило для степеней. Проверка: в формуле должны присутствовать производные обоих множителей; полезно сверить результат на простом примере x · x.
В формуле частного иногда меняют местами слагаемые в числителе или забывают квадрат знаменателя. Ошибка появляется из-за попытки восстановить формулу по памяти без указания, какой множитель дифференцируется. Записывайте её словами: «производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя», затем проверьте, что внизу стоит v².
При дифференцировании f(g(x)) могут написать только f'(g(x)), пропустив g'(x). Так происходит, если внутреннее выражение принимают за постоянное, хотя оно тоже зависит от x. Для самопроверки рядом с внешней производной каждый раз записывайте производную того, что находится внутри неё.
Если сразу дифференцировать длинное сложное выражение, легко пропустить один из слоёв. Обычно это случается, когда ученик не выделяет последнюю операцию и теряет структуру функции. Разбейте выражение на внешнюю и внутреннюю части, а затем отмечайте производную каждого слоя; число таких множителей должно соответствовать числу применений правила цепочки.
Для применения этих правил нужны определение производной и уже знакомые правила дифференцирования суммы, разности и степенной функции. Без них нельзя найти производные отдельных множителей или внутренних выражений. Новые формулы расширяют набор способов дифференцирования с простых функций на произведения, дроби и вложенные выражения.
Правила используют при нахождении производных сложных функций, исследовании их поведения и решении задач на скорость изменения величин. Они позволяют работать с выражениями, возникающими в разных разделах математики, не раскрывая все скобки и не упрощая функцию до дифференцирования. Особенно часто правило цепочки встречается в моделях, где одна величина зависит от другой, а та — от третьей.
Почему производная произведения не равна произведению производных?
При изменении аргумента меняются оба множителя, поэтому в приращении произведения возникают два вклада: от изменения первого и от изменения второго. Отсюда формула (uv)' = u'v + uv'. Например, для u = x и v = x получаем (x²)' = 2x, а не 1.
Как не перепутать порядок слагаемых в формуле производной частного?
Запоминайте числитель как «производная верхнего на нижнее минус верхнее на производную нижнего»: u'v − uv'. Затем разделите его на квадрат знаменателя. Проверить порядок можно, записав производную u · 1/v и применив правило произведения.
Почему в правиле цепочки нужно умножать на производную внутренней функции?
Изменение x сначала изменяет внутреннюю функцию, и только затем через неё меняется внешняя. Поэтому скорость изменения всей композиции зависит от обоих этапов и равна f'(g(x))g'(x). Если внутреннее выражение не меняется, композиция тоже не меняется.
Как определить, какая функция является внешней, а какая внутренней?
Посмотрите, какое действие выполняется последним: оно задаёт внешнюю функцию. Выражение, к которому это действие применяется, является внутренней функцией. Например, в sin((x² + 1)³) снаружи стоит синус, а внутри него — куб выражения x² + 1.
Можно ли применять несколько правил дифференцирования к одной функции?
Да, если выражение состоит из нескольких операций, правила применяют по очереди. Сначала выделяют строение функции, затем используют правило для внешней операции и продолжают дифференцировать внутренние части. Условия применимости, например ненулевой знаменатель, проверяют отдельно.
§ 57. Производная произведения, частного, композиции функций
